极限的基本性质有哪些

1. 唯一性：无论是数列极限还是函数极限，如果极限存在，则该极限值是唯一的。这意味着，如果一个数列或函数在某一点的极限存在，那么不论通过何种路径接近这一点，极限值都相同。如果有两个不同的极限值A和B，则意味着极限不存在。

2. 有界性：收敛数列的有界性指出，如果一个数列收敛（即有极限），那么这个数列中的所有项都可以被某个固定数值（上界和下界）所限制，即数列是有界的。同样，根据函数极限的定义，如果函数在某点的极限存在，那么函数在该点的某个邻域内是有界的。

3. 保号性：如果数列{xn}收敛于a，且a不等于0，那么数列的正负性将保持一致。具体来说，如果a > 0，那么存在某个正整数N，使得当n > N时，所有的xn都是正数；如果a < 0，则相应的xn都是负数。这反映了极限在传递数列或函数值的符号方面的一致性。

4. 四则运算性质：如果两个函数f(x)和g(x)在某点x=c的极限分别存在，那么它们的和、差、乘积以及在g(x)非零时的商的极限也存在，并且遵循常规的代数运算法则。即，如果lim f(x) = L, lim g(x) = M，则有：

lim [f(x) + g(x)] = L + M

lim [f(x) g(x)] = L M

lim [f(x) g(x)] = L M

若M ≠ 0，lim [f(x) / g(x)] = L / M

5. 夹逼定理（Squeeze Theorem）：如果三个函数f(x), g(x), h(x)满足f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)，且当x趋近于某一值c时，f(x)和h(x)的极限都存在且相等为L，则g(x)在x=c处的极限也存在，并且等于L。

6. 极限的传递性：如果lim f(x) = L，且lim g(y) = f(L)，那么lim [g(f(x))] = L，这表明极限运算可以“传递”。

7. 连续性与极限的关系：如果函数f(x)在点c的极限存在，并且等于f(c)，则f(x)在点c是连续的。反之，如果函数在某点连续，那么它在该点的左极限、右极限和函数值都相等。

这些性质为分析数学中的极限理论提供了坚实的基础，帮助我们理解和计算复杂的数学问题，尤其是在微积分中。