从高考真题看泰勒展开式在极值问题中的灵活运用

从近年高考数学真题来看，泰勒展开式在极值问题中的应用逐渐成为高阶解题的重要工具，尤其在处理超越函数和复杂导数问题时展现出独特的灵活性与高效性。以下结合高考真题及泰勒展开式原理，分析其在极值问题中的核心应用逻辑：

一、泰勒展开式的理论基础与极值判定原理

1. 泰勒公式的本质

泰勒公式通过多项式逼近函数，将复杂函数在某一邻域内的行为转化为多项式分析。对于函数 ( f(x) )，在 ( x_0 ) 处的泰勒展开式为：

[

f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + cdots + R_n(x)

]

其中，余项 ( R_n(x) ) 为高阶无穷小。展开式中的低次项系数直接关联函数的导数信息。

2. 极值判定的核心逻辑

当函数在某点 ( x_0 ) 处存在极值时，泰勒展开中最低阶非零导数项的性质决定极值类型：

偶次项系数为正：极小值点（开口向上）；

偶次项系数为负：极大值点（开口向下）；

奇次项为非零最低阶：无极值（对称性导致）。

二、高考真题中的典型应用场景

1. 极值点的存在性判定

例题（2020江西模拟）

已知 ( x=0 ) 是函数 ( f(x) = e^{x}

ax^2

x ) 的极大值点，求参数 ( a ) 的范围。

解析：

将 ( f(x) ) 在 ( x=0 ) 处泰勒展开：

[

e^x approx 1 + x + frac{x^2}{2!} + frac{x^3}{3!} implies f(x) approx 1 + x + frac{x^2}{2}

ax^2

x = 1 + left(frac{1}{2} - aright)x^2

]

极值判定需二次项系数 ( frac{1}{2}

a < 0 )，解得 ( a > frac{1}{2} )。通过泰勒展开直接锁定关键系数，避免复杂求导。

2. 参数范围的快速求解

例题（2021全国乙卷理科改编）

已知 ( f(x) = sin x

x + frac{mx^3}{3} )，若 ( f(x) geq 0 ) 对 ( forall x geq 0 ) 恒成立，求 ( m ) 的取值范围。

解析：

利用 ( sin x ) 的泰勒展开 ( sin x = x

frac{x^3}{3!} + frac{x^5}{5!}

cdots )，代入得：

[

f(x) approx left( frac{m}{3}

frac{1}{6} right)x^3 + frac{x^5}{120}

]

为保证 ( f(x) geq 0 )，需 ( frac{m}{3}

frac{1}{6} geq 0 implies m geq frac{1}{2} )。通过展开式快速确定参数临界值。

3. 复杂函数的极值比较

例题（2022全国甲卷理科第12题）

已知 ( a = frac{31}{32} ), ( b = cosfrac{1}{4} ), ( c = 4sinfrac{1}{4} )，比较三者大小。

解析：

利用泰勒不等式放缩：

( cos x > 1

frac{x^2}{2} implies b > 1 - frac{(1/4)^2}{2} = frac{31}{32} = a );

( sin x > x

frac{x^3}{6} implies c > 4left(frac{1}{4} - frac{(1/4)^3}{6}right) = frac{95}{96} > a ).

通过泰勒展开的不等式放缩，快速排除选项得到 ( c > b > a )。

三、备考策略与技巧总结

1. 核心展开式的记忆

需熟练掌握常见函数的麦克劳林展开式（如 ( e^x ), ( sin x ), ( cos x ), ( ln(1+x) )）及其不等式形式，例如：

( e^x geq 1 + x + frac{x^2}{2} )（( x geq 0 )）；

( sin x leq x )（( x geq 0 )），( cos x geq 1

frac{x^2}{2} )（( x in mathbb{R} )）。

2. 极值判定的两步法

步骤1：将函数在可疑极值点处展开至二次项；

步骤2：分析二次项系数符号，结合展开式余项的高阶无穷小性质确定极值。

3. 误差控制与精度选择

泰勒展开的精度需根据题目要求调整。例如，比较类问题通常展开至三次项即可，而极值存在性问题需展开至二次项。

泰勒展开式在高考极值问题中的应用，本质是通过多项式逼近简化复杂函数的分析，尤其适用于处理超越函数与高阶导数问题。掌握其核心展开式与极值判定逻辑，能够显著提升解题效率与准确性，是高分突破的关键技巧之一。