高考三角函数必考公式汇总及推导方法

一、基础公式

1. 同角三角函数关系

平方关系：$sin^2alpha + cos^2alpha = 1$

倒数关系：$

analpha = frac{sinalpha}{cosalpha}$，$cotalpha = frac{1}{

analpha}$

商数关系：$analpha = frac{sinalpha}{cosalpha}$

（来源：网页2、网页27）

2. 诱导公式

口诀：“奇变偶不变，符号看象限”

例：$sin(pi+alpha) = -sinalpha$，$cos(frac{pi}{2}-alpha) = sinalpha$

核心规律：角度为$frac{pi}{2}$的奇数倍时函数名改变，偶数倍时不变，符号由原角象限决定。

（来源：网页2、网页27）

二、核心公式及推导

1. 和差角公式

公式：

$cos(alpha pm beta) = cosalphacosbeta mp sinalphasinbeta$

$sin(alpha pm beta) = sinalphacosbeta pm cosalphasinbeta$

$

an(alpha pm beta) = frac{

analpha pm

anbeta}{1 mp

analpha

anbeta}$

（来源：网页2、网页15、网页25）

推导方法：

向量法：利用单位圆上的点坐标，通过向量内积推导$cos(alpha-beta)$（见图4，网页15）。

几何法：构造几何图形（如直角三角形叠加），结合正弦定理或余弦定理推导（网页25）。

2. 倍角与半角公式

二倍角公式：

$sin2alpha = 2sinalphacosalpha$，$cos2alpha = cos^2alpha

sin^2alpha = 2cos^2alpha

1$

推导：由和角公式令$beta = alpha$（网页29）。

半角公式：

$sinfrac{alpha}{2} = pmsqrt{frac{1-cosalpha}{2}}$，$cosfrac{alpha}{2} = pmsqrt{frac{1+cosalpha}{2}}$

推导：由二倍角公式变形（网页2、网页29）。

（来源：网页2、网页29）

3. 和差化积与积化和差

和差化积：

$sinalpha + sinbeta = 2sinfrac{alpha+beta}{2}cosfrac{alpha-beta}{2}$

$cosalpha + cosbeta = 2cosfrac{alpha+beta}{2}cosfrac{alpha-beta}{2}$

积化和差：

$sinalphacosbeta = frac{1}{2}[sin(alpha+beta) + sin(alpha-beta)]$

推导：由和差角公式相加/减得到（网页15、网页25）。

（来源：网页2、网页15、网页25）

4. 辅助角公式

公式：$asinalpha + bcosalpha = sqrt{a^2+b^2}sin(alpha + phi)$，其中$anphi = frac{b}{a}$

推导：利用向量合成或三角恒等变形（网页2、网页29）。

（来源：网页2、网页29）

5. 万能公式

公式：

$sinalpha = frac{2

anfrac{alpha}{2}}{1+

an^2frac{alpha}{2}}$，$cosalpha = frac{1-

an^2frac{alpha}{2}}{1+

an^2frac{alpha}{2}}$

应用：将三角函数转化为$

anfrac{alpha}{2}$的有理式（网页29、网页27）。

（来源：网页29、网页27）

三、高频考点与解题技巧

1. 化简与求值：优先用诱导公式统一角，再用和差/倍角公式化简。

2. 图像与性质：结合$sin x$、$cos x$的周期性、对称性分析。

3. 解三角形：综合正弦定理、余弦定理及面积公式$S = frac{1}{2}absin C$（网页2、网页29）。

四、公式记忆与练习建议

口诀辅助：如“奇变偶不变”记诱导公式，“正加正，正在前”记和差化积。

推导理解：掌握关键公式（如和差角）的几何推导，避免死记硬背。

真题演练：针对高考真题反复练习公式的综合应用（如网页26的40道精选题）。

（综合来源：网页2、网页15、网页25、网页29）