高考中极值判定的一阶导数法与二阶导数法对比

在高考数学中，判断函数极值的常用方法为一阶导数法和二阶导数法。两者在应用场景、判断逻辑及限制条件上存在差异，以下是详细对比分析：

一、基本原理与步骤

1. 一阶导数法（第一充分条件）

步骤：

① 求一阶导数 ( f'(x) )，找到驻点（即 ( f'(x)=0 ) 的点）。

② 分析驻点两侧导数的符号变化：

左正右负 → 极大值；

左负右正 → 极小值；

符号不变 → 非极值点。

核心逻辑：通过单调性变化判断极值。

2. 二阶导数法（第二充分条件）

步骤：

① 求一阶导数 ( f'(x) )，找到驻点。

② 计算二阶导数 ( f''(x) )，代入驻点：

( f''(x_0) < 0 ) → 极大值；

( f''(x_0) > 0 ) → 极小值；

( f''(x_0) = 0 ) → 方法失效，需改用一阶导数法。

核心逻辑：通过曲率（凹凸性）直接判断极值。

二、对比分析

| 对比维度 | 一阶导数法 | 二阶导数法 |

|--|||

| 应用范围 | 适用于所有驻点，包括不可导点（如尖点） | 仅适用于驻点处二阶导数存在且非零的情况 |

| 计算复杂度 | 需分析两侧符号变化，步骤较繁琐 | 直接计算二阶导数，步骤更简洁 |

| 局限性 | 需明确导数符号变化，可能需分段讨论 | 当二阶导数为零时无法判断，需转用一阶法 |

| 几何意义 | 反映函数单调性变化 | 反映曲线的凹凸性（二阶导数为正则凹，负则凸） |

| 典型例题 | 如 ( f(x)=|x| ) 在 ( x=0 ) 处的极值 | 如 ( f(x)=x^3-x^2 ) 的极值判定 |

三、高考中的实际应用技巧

1. 优先使用二阶导数法：若题目条件允许（如二阶导数存在且易计算），优先用二阶法快速判断极值类型。

2. 混合使用场景：

当二阶导数为零时，必须转用一阶导数法（如 ( f(x)=x^4 )，( x=0 ) 处二阶导为零，但一阶法显示非极值）。

遇到不可导点（如绝对值函数、分段函数）时，只能用一阶法分析。

3. 避免常见误区：

极值点不一定是导数为零的点：如 ( f(x)=|x| ) 在 ( x=0 ) 处不可导，但为极小值点。

二阶导数的符号与凹凸性相关：极大值对应曲线局部凸，极小值对应凹。

四、真题示例分析

例题：求 ( f(x)=x^3-3x ) 的极值点。

一阶导数法：

( f'(x)=3x^2-3 )，解得驻点 ( x=±1 )。

( x=-1 ) 左侧 ( f' >0 )，右侧 ( f' <0 ) → 极大值；

( x=1 ) 左侧 ( f' <0 )，右侧 ( f' >0 ) → 极小值。

二阶导数法：

( f''(x)=6x )，代入 ( x=-1 ) → ( f''(-1)=-6<0 ) → 极大值；

代入 ( x=1 ) → ( f''(1)=6>0 ) → 极小值。

五、总结

一阶导数法：通用性强，但计算繁琐，适用于复杂函数或不可导点。

二阶导数法：计算高效，但受限于二阶导数的存在性，适合简单多项式函数。

在高考中，需根据题目条件灵活选择方法，并注意两种方法的互补性。