高考数学中连续性建模与离散性建模的实例解析

在高考数学中，连续性与离散性建模是两类重要的数学建模方法。以下通过具体实例解析其应用场景、建模思路及求解方法，并结合高考命题趋势分析其考查方向。

一、连续性建模实例

1. 导弹追踪问题

问题背景：导弹从原点发射追踪沿直线运动的乙舰，需建立导弹轨迹的数学模型。

建模过程：

将导弹和乙舰的运动参数化，利用微分方程描述导弹速度方向始终指向乙舰的位置。

微分方程形式为：

[

begin{cases}

frac{dx}{dt} = frac{5(1-x)}{sqrt{(1-x)^2 + (t-y)^2}}

frac{dy}{dt} = frac{5(t-y)}{sqrt{(1-x)^2 + (t-y)^2}}

end{cases}

]

求解方法：使用MATLAB的ODE45求解器计算数值解，并绘制轨迹图。

高考关联：此类问题体现微分方程在实际场景中的应用，需掌握数值解法和物理建模思想。

2. 经济增长模型（凯恩斯静态模型）

问题背景：研究国民收入（Y）、消费（C）、投资（I）之间的关系。

建模过程：

假设收入仅用于消费和投资，建立方程：

[

Y = C + I, quad C = C_0 + aY

]

通过消元得到收入与投资的函数关系：

[

Y = frac{I + C_0}{1

a}

]

结果分析：投资或消费增长会通过“乘数效应”放大收入增长，解释经济政策的影响。

高考关联：需掌握代数方程建模及参数分析能力，体现数学与经济学交叉。

二、离散性建模实例

1. 商人安全过河问题

问题背景：三名商人带随从过河，需设计安全过河策略。

建模过程：

状态表示：用 ((x, y)) 表示出发岸的商人数和随从数。

状态转移：通过决策向量 ((u_x, u_y)) 描述每次过河的人员组合，保证两岸商人数不小于随从数。

转化为图论问题，寻找从 ((3, 3)) 到 ((0, 0)) 的最短路径。

求解方法：动态规划或图论中的最短路径算法。

高考关联：考查离散状态转移的逻辑推理能力，类似逻辑推理题。

2. 通信网络设计问题

问题背景：设计费用最小的通信网络，保证节点连通性。

建模过程：

使用图论中的最小生成树（MST）模型，如Kruskal算法选择边。

若删除某节点后需保证90%节点连通，则通过添加边优化网络结构。

求解工具：MATLAB的图论工具箱或手动计算权重矩阵。

高考关联：需掌握图论基础及优化思想，类似组合优化问题。

3. 数列递推与最优化问题

示例：多阶段生产计划优化。

状态变量：每个阶段的生产量和库存量。

递推方程：定义成本函数并递推求解最优策略。

转化为动态规划或最短路径问题。

高考关联：常见于数列应用题，需结合递推关系和不等式分析。

三、连续与离散建模的对比

| 维度 | 连续性建模 | 离散性建模 |

|-|--|--|

| 数学工具 | 微分方程、积分方程 | 差分方程、递推关系、图论 |

| 典型问题 | 物理运动、经济增长 | 资源配置、状态转移、网络优化 |

| 求解方法 | ODE求解、数值模拟 | 动态规划、组合优化、迭代计算 |

| 高考考查重点 | 微分方程应用、参数分析 | 逻辑推理、离散优化、递推关系 |

四、高考命题趋势分析

1. 综合性增强：如2024年新高考数学卷中，出现结合金融数学、统计学的实际问题，需综合连续与离散模型分析。

2. 实用性突出：强调数学建模解决现实问题的能力，例如通信网络设计、生产计划优化等。

3. 跨学科融合：经济学、物理学中的模型（如乘数效应、运动轨迹）成为命题素材。

五、备考建议

1. 掌握核心工具：熟练使用微分方程、递推关系、图论算法等基础模型。

2. 强化跨学科思维：关注经济学、物理学中的经典模型，理解其数学本质。

3. 注重数值计算：熟悉MATLAB或Python工具，提升数值解法的实操能力。

通过以上实例解析与对比，考生可深化对连续与离散建模的理解，提升解决复杂实际问题的能力。