高考数学函数周期性的判断方法及典型例题解析

1. 定义法

若存在非零常数 ( T )，使得对定义域内任意 ( x )，均有 ( f(x+T) = f(x) )，则 ( T ) 为函数周期。最小正周期需满足 ( T ) 是所有可能周期中的最小正数。

适用场景：适用于简单函数或直接验证周期存在性的题目。

例题：若 ( f(x+3) = f(x) )，则周期 ( T=3 )。

2. 常见结论法

以下公式可直接用于快速判断周期（需熟记）：

类型1：若 ( f(x+a) = -f(x) )，则 ( T=2a )（如 ( f(x+2) = -f(x) Rightarrow T=4 )）。

类型2：若 ( f(x+a) = frac{1}{f(x)} ) 或 ( f(x+a) cdot f(x) = C )，则 ( T=2a )（如 ( f(x+1) = frac{1}{f(x)} Rightarrow T=2 )）。

类型3：若 ( f(x+a) = f(x-a) )，则 ( T=2a )（如 ( f(x+3) = f(x-3) Rightarrow T=6 )）。

类型4：若 ( f(x+2a) = f(x+a)

f(x) )，则 ( T=6a )（如 ( f(x+2) = f(x+1) - f(x) Rightarrow T=6 )）。

3. 对称性与周期性的结合

奇偶性+对称性：

奇函数关于 ( x=a ) 对称，则 ( T=4|a| )。

偶函数关于 ( x=a ) 对称，则 ( T=2|a| )。

奇函数关于点 ( (a,0) ) 对称，则 ( T=2|a| ) 。

对称轴与对称中心：

若函数有两条对称轴 ( x=a ) 和 ( x=b )，则 ( T=2|a-b| )。

若有一个对称中心和一个对称轴，则 ( T=4|a-b| ) 。

4. 图像法与复合函数

观察图像是否重复出现规律（如正弦函数、余弦函数）。

复合函数中若仅存在一个“单路径约束”（如 ( e^{cos x} )），则仍为周期函数；若引入非周期函数（如 ( x sin x )），则可能破坏周期性 。

二、典型例题解析

例题1（周期求和）

题目：定义在 ( mathbb{R} ) 上的函数 ( f(x) ) 满足 ( f(x) = -f(x+frac{3}{2}) )，且 ( f(-2)=f(-1)=-1 )，( f(0)=2 )。求 ( f(1)+f(2)+cdots+f(2009) ) 的值。

解析：

由 ( f(x) = -f(x+frac{3}{2}) )，得周期 ( T=2imes frac{3}{2}=3 )。

每个周期内 ( f(1)=f(-2)=-1 )，( f(2)=f(-1)=-1 )，( f(3)=f(0)=2 )。

总项数 ( 2009 = 3imes 669 + 2 )，但需注意余数部分。

求和结果为 ( 669

imes (-1-1+2)

f(0) = -2 )（选A）。

例题2（分段函数周期）

题目：函数 ( f(x) ) 在 ( x>0 ) 时满足 ( f(x) = f(x-1)

f(x-2) )，且 ( x leq 0 ) 时 ( f(x) = log_2(1-x) )。求 ( f(2012) )。

解析：

由递推式 ( f(x) = f(x-1)

f(x-2) )，推导得 ( f(x+3) = -f(x) )，周期 ( T=6 )。

( 2012 = 6

imes 335 + 2 )，故 ( f(2012) = f(2) = f(1)

f(0) = 0 - log_2(2) = -1 )（选A）。

例题3（对称性与周期性结合）

题目：奇函数 ( f(x) ) 关于直线 ( x=1 ) 对称，且 ( f(0)=0 )，求 ( f(4) )。

解析：

奇函数关于 ( x=1 ) 对称，则周期 ( T=4imes 1=4 )。

( f(4) = f(0) = 0 ) 。

三、易错点与总结

1. 最小正周期：需验证是否存在更小的周期（如 ( sin x ) 的周期为 ( 2pi )，但 ( 4pi ) 也是周期）。

2. 分段函数：需注意不同区间的周期性是否独立（如例题2中的分段处理）。

3. 对称性与奇偶性：结合对称轴和中心的关系推导周期时，需明确奇偶性对周期的影响。

练习建议：多积累二级结论（如网页2中的公式），并通过典型例题（如网页25中的练习题）强化应用能力。