函数单调性的定义法证明是高考数学中的核心考点，以下是详细步骤及注意事项，结合高考真题的解题逻辑进行

一、证明步骤详解（基于定义法）

高考数学必考：函数单调性的定义法证明步骤详解

1. 任取变量，规定大小关系

在指定区间D内任取两个自变量值x₁、x₂，且规定x₁ < x₂。

关键点：必须强调“任意性”，不能取特殊值，否则无法证明整体单调性。

2. 作差（或作商）并变形

  • 作差法：计算f(x₁)
  • f(x₂)；
  • 作商法：计算f(x₁)/f(x₂)（需保证f(x) ≠ 0）。

    • 变形方法：因式分解、通分、配方、有理化等，目的是将结果转化为易判断符号的形式（如乘积、平方等）。

    3. 定号（判断差值符号）

  • 若f(x₁)
  • f(x₂) < 0，则f(x₁) < f(x₂)，说明函数在D上单调递增；
  • 若f(x₁)
  • f(x₂) > 0，则f(x₁) > f(x₂)，说明函数在D上单调递减。

    • 注意：若无法直接判断符号，需结合区间内变量的性质分类讨论。

    4. 下结论

    根据单调性定义，明确函数在区间D上是增函数或减函数。需完整表述：“∀x₁, x₂∈D且x₁ < x₂，有f(x₁) < f(x₂)，故f(x)在D上单调递增”。

    二、关键注意事项

    1. 区间明确性

    单调性是局部性质，必须指明具体区间。例如，分段函数需分别证明各段的单调性，并注意分段点处的连续性。

    2. 变形技巧

  • 作差法中，常用因式分解（如平方差、完全平方公式）或通分简化表达式；
  • 作商法需注意分母符号，若分母正负不确定，需讨论。

    • 3. 避免特殊值

    定义法必须基于“任意x₁ < x₂”的前提，不能通过个别点的函数值大小直接推断单调性。

    4. 奇偶性与单调性的关联

  • 奇函数在对称区间上的单调性相同（“奇同”）；
  • 偶函数在对称区间上的单调性相反（“偶异”）。

    • 例如，奇函数在区间[-a, 0]和[0, a]上单调性一致。

    三、高考真题解题逻辑（以复合函数为例）

    若题目涉及复合函数（如f(g(x))），需结合“同增异减”原则：

  • 内层函数g(x)与外层函数f(u)单调性相复合函数f(g(x))递增；
  • 单调性相反时，复合函数递减。

    • 步骤：

    ① 拆分复合函数为y = f(u)和u = g(x)；

    ② 分别判断内、外层函数的单调性；

    ③ 综合结果应用“同增异减”。

    四、经典例题示范

    题目：证明函数f(x) = x + 1/x在区间(0, 1)上的单调性。

    证明过程：

    1. 任取x₁, x₂∈(0, 1)且x₁ < x₂；

    2. 作差：f(x₁)

  • f(x₂) = (x₁ + 1/x₁)
  • (x₂ + 1/x₂) = (x₁ - x₂) + (1/x₁ - 1/x₂) = (x₁ - x₂) - (x₁ - x₂)/(x₁x₂)；

    • 3. 变形：提取公因式(x₁

  • x₂)，得：

    • (x₁

  • x₂)(1
  • 1/(x₁x₂))；

    • 4. 定号：

  • ∵x₁ < x₂且x₁, x₂∈(0,1)，∴x₁
  • x₂ < 0，且x₁x₂ < 1 ⇒ 1 - 1/(x₁x₂) < 0；
  • 故整体符号为正：(x₁
  • x₂)(1 - 1/(x₁x₂)) > 0 ⇒ f(x₁) > f(x₂)；

    • 5. 结论：f(x)在(0, 1)上单调递减。

    五、总结

    掌握定义法证明函数单调性，需严格遵循“取值→作差→变形→定号→结论”的步骤，同时注意区间限制和变形技巧。高考中常结合复合函数、分段函数等综合考查，需灵活应用“同增异减”及分类讨论思想。