在高考数学中，复合函数求导是导数章节的核心内容，也是考生容易因步骤缺失或操作不当导致失分的重灾区。以下是复合函数求导过程中常见的步骤缺失问题及易错点分析，结合高考真题和典型例题进行说明：

1. 未明确分解复合函数，直接求导

问题：未将复合函数分解为内外层函数，导致链式法则应用不完整。

示例：对函数 ( y = ln(sin 2x) ) 求导时，学生可能直接写出 ( y' = frac{1}{sin 2x} cdot 2 cos 2x )，但忽略中间变量 ( u = 2x ) 的分解步骤。

高考易错点：复合函数求导过程中常见的步骤缺失问题

正确步骤：

  • 设 ( u = 2x )，则外层函数为 ( y = ln(sin u) )，内层函数为 ( u = 2x )。
  • 逐层求导：( y' = frac{1}{sin u} cdot cos u cdot 2 )，最后代回 ( u = 2x ) 得 ( y' = 2 cot 2x )。

    • 易错点：跳过中间变量分解，可能导致漏乘内层导数（如漏乘 ( 2 )）。

    2. 漏掉中间变量的导数（链式法则应用不完整）

    问题：在多层复合函数中，只对部分层求导。

    示例：对 ( y = e^{sqrt{x^2 + 1}} ) 求导时，学生可能仅计算外层指数函数的导数，漏掉对根号内二次函数 ( x^2 + 1 ) 的导数。

    正确步骤：

  • 分解为 ( y = e^u )，( u = sqrt{v} )，( v = x^2 + 1 )。
  • 逐层求导：( y' = e^u cdot frac{1}{2sqrt{v}} cdot 2x )，合并后为 ( y' = frac{x e^{sqrt{x^2 + 1}}}{sqrt{x^2 + 1}} )。

    • 易错点：少乘中间变量 ( v ) 的导数（如漏乘 ( frac{1}{2sqrt{v}} ) 或 ( 2x )）。

    3. 忽略定义域或绝对值处理

    问题：未考虑函数定义域或绝对值符号的影响，导致导数符号错误。

    示例：对 ( y = sqrt{ln x} ) 求导时，学生可能直接写出 ( y' = frac{1}{2sqrt{ln x}} cdot frac{1}{x} )，但忽略 ( ln x > 0 )（即 ( x > 1 )）的定义域限制。

    正确步骤：

  • 先明确定义域 ( x > 1 )。
  • 再求导：( y' = frac{1}{2sqrt{ln x}} cdot frac{1}{x} )。

    • 易错点：未标注定义域或错误应用绝对值导数公式（如 ( |x|' = frac{x}{|x|} )）。

    4. 混淆幂函数与指数函数的求导规则

    问题：对 ( y = x^{x} ) 或 ( y = (sin x)^{cos x} ) 等混合型函数，未正确使用对数求导法或链式法则。

    示例：对 ( y = x^x ) 求导时，直接应用幂函数法则 ( y' = x cdot x^{x-1} )（错误！）。

    正确步骤：

  • 取对数：( ln y = x ln x )。
  • 隐函数求导：( frac{1}{y} y' = ln x + 1 )，得 ( y' = x^x (ln x + 1) )。

    • 易错点：未通过取对数转化为显式复合函数，导致法则应用错误。

    5. 未处理隐式复合结构（如三角函数嵌套）

    问题：对嵌套型三角函数（如 ( y = sin(cos^2 x) )）求导时，漏掉中间步骤。

    示例：对 ( y = sin(cos^2 x) ) 求导，学生可能仅计算外层正弦函数的导数，漏掉对 ( cos^2 x ) 的二次求导。

    正确步骤：

  • 分解为 ( y = sin u )，( u = (cos x)^2 )。
  • 逐层求导：( y' = cos u cdot 2 cos x cdot (-sin x) )，合并后为 ( y' = -2 sin x cos x cos(cos^2 x) )。

    • 易错点：漏乘中间变量 ( u = cos^2 x ) 的导数（如漏乘 ( 2 cos x ) 或 ( -sin x )）。

    避错策略

    1. 分步分解法：遇到复合函数时，强制自己写出中间变量（如 ( u = g(x) )，( v = h(u) )），逐层标注求导过程。

    2. 检查链式法则：每步求导后核对是否乘以内层导数，尤其是多层复合时（如 ( y = f(g(h(x))) )）。

    3. 关注定义域：对含根号、对数、分式的函数，先明确定义域再求导。

    4. 特殊函数处理：对幂指函数、含绝对值的函数，优先使用对数求导法或分段讨论。

    通过以上分析，考生需在练习中强化步骤规范性，避免因跳步或符号混淆导致失分。建议结合高考真题（如2023年新高考卷中复合函数与单调性综合题）进行针对性训练。