一、顶点式的定义

二次函数的顶点式是其解析式的特殊形式，表达式为 ( y = a(x-h)^2 + k ) ，其中：

  • ( a

    • eq 0 )，决定抛物线的开口方向和宽窄；

  • ( (h, k) ) 是抛物线的顶点坐标；
  • 该形式通过平移基本抛物线 ( y = ax^2 ) 得到，平移规律为 水平移动( h )个单位，垂直移动( k )个单位（当( h > 0 )向右平移，( h < 0 )向左平移；( k > 0 )向上平移，( k < 0 )向下平移）。

    • 示例：若顶点为( (2, -1) )，则顶点式为 ( y = a(x-2)^2 -1 )。

    二、图像特征解析

    1. 顶点坐标与对称轴

  • 顶点坐标：直接由顶点式可得，为( (h, k) )。例如，( y = 3(x+1)^2 + 4 )的顶点为( (-1, 4) )。
  • 对称轴：直线( x = h )，是抛物线关于该直线的轴对称图形。

    • 2. 开口方向与宽窄

  • 开口方向：由系数( a )的符号决定：
  • ( a > 0 )时，开口向上，函数有最小值( k )；
  • ( a < 0 )时，开口向下，函数有最大值( k ) 。
  • 开口宽窄：( |a| )越大，开口越窄；( |a| )越小，开口越宽。

    • 3. 极值点与函数性质

  • 极值点：顶点( (h, k) )是抛物线的最高点或最低点，极值为( k )；
  • 单调性：
  • 开口向上时，( x < h )时函数递减，( x > h )时递增；
  • 开口向下时，( x < h )时函数递增，( x > h )时递减。

    • 4. 平移与变形规律

  • 顶点式体现了从基本抛物线( y = ax^2 )到( y = a(x-h)^2 + k )的平移过程：
  • 水平平移由( h )决定，垂直平移由( k )决定；
  • 平移后形状不变，仅位置改变。

    • 三、顶点式的应用技巧

    1. 快速画图步骤：

  • 标出顶点( (h, k) )；
  • 根据( a )的符号确定开口方向；
  • 沿对称轴左右对称取点，绘制抛物线。

    • 2. 与其他形式的转换：

  • 一般式转顶点式：通过配方法将( y = ax^2 + bx + c )转化为顶点式，公式为：

    • [

    h = -frac{b}{2a}, quad k = frac{4ac

  • b^2}{4a}

    • ]

    例如，( y = 2x^2 -4x +1 )转化为顶点式为( y = 2(x-1)^2 -1 ) 。

  • 交点式转顶点式：若抛物线与x轴交于( x_1, x_2 )，顶点横坐标为( frac{x_1 + x_2}{2} )，代入函数求纵坐标。

    • 3. 解题中的高频考点：

  • 求最值（如利润最大、面积最优问题）；
  • 分析函数单调性；
  • 确定对称轴位置及参数关系（如( h = -frac{b}{2a} )的应用）。

    • 四、易错点与注意事项

    1. 顶点坐标符号：顶点式中的( h )前为负号，实际顶点横坐标为( h )，而非( -h )（例如，( y = 3(x-2)^2 +5 )的顶点是( (2,5) )，而非( (-2,5) )）。

    2. 平移方向混淆：水平平移方向与( h )的符号相反（如( (x+3)^2 )表示向左平移3个单位）。

    高考高频考点：二次函数顶点式的定义与图像特征解析

    3. 忽略参数讨论：若题目未明确参数范围，需讨论( a )的正负对开口方向的影响。

    掌握顶点式的定义与图像特征，能快速解决抛物线的顶点、对称轴、最值等问题，是高考中二次函数题型的核心考点。通过配方法灵活转换一般式与顶点式，结合图像分析参数关系，是提升解题效率的关键。