利用导数求函数图像在某点的切线方程主要基于导数的几何意义：函数在某点的导数值等于该点处切线的斜率。以下是具体步骤及示例说明：

一、基本步骤

1. 验证给定点是否在曲线上

将点的横坐标代入原函数，确认纵坐标与函数值一致。若点不在曲线上，需用其他方法（如设切点联立方程）。

> 示例：点 $(a, b)$ 在曲线 $y=f(x)$ 上，需满足 $b=f(a)$。

2. 求函数的导函数

计算 $f'(x)$，即曲线在该点的瞬时变化率（切线斜率）。

> 示例：若 $f(x)=x^2$，则 $f'(x)=2x$。

3. 计算切线的斜率

将点的横坐标代入导函数，得到斜率 $k=f'(a)$。

> 示例：在点 $(2,4)$ 处，$k=f'(2)=4$。

4. 利用点斜式方程写出切线方程

公式：$y

  • b = k(x
  • a)$，其中 $(a, b)$ 是切点，$k$ 是斜率。

    • 二、示例解析

    示例1：求曲线 $y=x^2
  • 2x$ 在点 $(-1, 3)$ 处的切线方程

    • 1. 验证点在曲线上

    $y=(-1)^2

  • 2(-1)=1+2=3$，符合条件。

    • 2. 求导

    $f'(x)=2x

  • 2$。

    • 3. 求斜率

    $k=f'(-1)=2(-1)-2=-4$。

    4. 写切线方程

    $y

  • 3 = -4(x +1)$，化简得 $4x + y +1 =0$。

    • 示例2：求曲线 $y=e^x$ 在点 $(0,1)$ 处的切线方程

    1. 验证点

    $y=e^0=1$，点在曲线上。

    2. 求导

    $f'(x)=e^x$。

    3. 求斜率

    $k=f'(0)=1$。

    4. 写切线方程

    $y -1 =1(x-0)$，即 $y =x +1$。

    三、特殊情况处理

    1. 点不在曲线上

    需设切点为 $(x_0, f(x_0))$，联立方程：

  • 斜率关系：$f'(x_0) = frac{f(x_0)
  • b}{x_0 - a}$；
  • 切点在曲线上：$f(x_0) = y_0$；

    • 解方程组求得 $x_0$，再代入点斜式。

    2. 公切线问题

    若两曲线有公切线，需分别设切点 $(x_1,f(x_1))$ 和 $(x_2,g(x_2))$，满足：

  • 斜率相同：$f'(x_1)=g'(x_2)$；
  • 切线方程一致。

    • 四、总结

  • 核心公式：切线方程 $y = f'(a)(x
  • a) + f(a)$。
  • 关键点：验证点在曲线上、正确计算导数、灵活处理不同题型。

    • 易错提示：混淆“在点处的切线”与“过点的切线”，忽略切点验证步骤。