在高考不等式证明题中，比较法是最基础且实用的方法之一，主要包括作差法和作商法两种形式。以下是具体应用技巧及案例分析：

一、比较法的核心原理与步骤

1. 作差法

  • 原理：通过比较两个数（或表达式）的差值与0的大小关系来证明不等式，即欲证 ( a geq b )，只需证明 ( a
  • b geq 0 )。
  • 步骤：

    • ① 作差：计算 ( a

  • b )；

    • ② 变形：通过因式分解、配方、通分等手段将差值转化为易判断符号的形式（如完全平方、乘积等）；

    ③ 判断符号：根据变形后的结果与0的大小关系得出结论。

  • 适用场景：适用于任何实数比较，是适用范围最广的方法。

    • 案例（网页13）：

    已知 ( a > 0, b > 0 )，证明 ( (a+b)(a^5+b^5) geq 4 )。

    解析：

    展开作差得 ( (a+b)(a^5+b^5)

  • 4 = ab(a^4 + b^4
  • 2a^3b^3) )，通过因式分解和平方非负性（如 ( (a^2 - b^2)^2 geq 0 )）判断差值为非负。

    • 2. 作商法

  • 原理：通过比较两个正数的商与1的大小关系来证明不等式，即欲证 ( a geq b )，若 ( a, b > 0 )，只需证明 ( frac{a}{b} geq 1 )。
  • 步骤：

    • ① 作商：计算 ( frac{a}{b} )；

    ② 变形：化简商式，分析其与1的大小关系；

    ③ 判断大小：结合不等式性质得出结论。

  • 适用场景：仅适用于同号的正数比较，需特别注意符号处理。

    • 案例（网页27）：

    已知 ( a, b > 0 )，证明 ( frac{a^3 + b^3}{2} geq left( frac{a + b}{2} right)^3 )。

    解析：

    作商后变形为 ( frac{a^3 + b^3}{2} cdot frac{8}{(a+b)^3} )，利用均值不等式化简证明商值≥1。

    二、高考中比较法的应用技巧

    1. 灵活变形：

  • 因式分解：将差值转化为乘积形式，便于判断符号。例如 ( a^2 + b^2
  • 2ab = (a - b)^2 geq 0 )。
  • 配方处理：对二次多项式进行配方，如 ( x^2 + 4x + 5 = (x + 2)^2 + 1 geq 1 )。
  • 通分简化：对分式型差值通分，统一分母后分析分子符号。

    • 2. 结合对称性与轮换性：

    若不等式具有对称或轮换特征（如 ( a, b, c ) 轮换对称），可假设变量大小关系（如 ( a geq b geq c )），简化分析过程。

    3. 特殊值验证：

    在变形前，代入特殊值（如 ( a = b )）验证不等式是否成立，辅助判断变形方向。

    三、高考真题中的典型题型及解法

    题型1：直接比较大小

    例题（2021年新高考卷）：已知 ( x > 0, y > 0 )，证明 ( frac{x}{y} + frac{y}{x} geq 2 )。

    解析：

    作差得 ( frac{x^2 + y^2}{xy}

  • 2 = frac{(x
  • y)^2}{xy} geq 0 )，因 ( x, y > 0 )，故原式成立。

    • 题型2：含参数的不等式证明

    例题：设 ( a > b > 0 )，证明 ( frac{a}{b} > frac{a + c}{b + c} )。

    解析：

    作差得 ( frac{a(b + c)

  • b(a + c)}{b(b + c)} = frac{c(a
  • b)}{b(b + c)} )，由 ( a > b > 0, c > 0 ) 知差值>0，原式成立。

    • 四、常见误区与注意事项

    1. 符号判断错误：作差后未充分考虑变量范围（如忽略负数导致误判）。

    2. 变形不当：未选择合适的变形方式（如未配方导致无法判断符号）。

    3. 作商法误用：对负数使用作商法，或未调整不等式方向（如 ( a < b ) 时 ( frac{a}{b} < 1 ) 需反转不等式符号）。

    五、练习建议

    1. 基础训练：从简单比较题入手（如网页27的跟踪练习），掌握变形技巧。

    2. 综合应用：结合综合法、分析法等（如网页1提到的综合-分析联合法），提升复杂题目处理能力。

    3. 真题演练：研究高考真题（如网页13的2017年全国卷例题），熟悉题型和命题规律。

    通过系统训练比较法，考生可快速突破不等式证明题，尤其在压轴题中占据优势。