在高考数学中，通过函数图像判断单调性趋势是高频考点，尤其常见于选择题。以下是结合高考真题和解题技巧总结的方法与步骤，帮助快速分析图像中的单调性特征：

一、基本观察与特征分析

1. 图像整体趋势

  • 上升趋势：若图像从左至右逐渐升高，则函数在该区间内单调递增（导数为正）。
  • 下降趋势：若图像从左至右逐渐降低，则函数在该区间内单调递减（导数为负）。
  • 波动区域：若图像有多个峰谷（极值点），则可能存在多个单调区间。

    • 2. 关键特征点

  • 极值点（顶点或谷底）：极值点两侧的单调性会发生变化。例如，极大值点左侧递增、右侧递减。
  • 零点（与x轴交点）：结合零点两侧的符号变化判断单调性。例如，若零点左侧函数值为负、右侧为正，则可能左侧递减、右侧递增。

    • 二、结合函数性质快速判断

    1. 奇偶性与对称性

  • 奇函数：图像关于原点对称，若原点右侧递增，则左侧也递增（“奇同”性质）。
  • 偶函数：图像关于y轴对称，若右侧递增，则左侧递减（“偶异”性质）。
  • 对称轴或中心：例如二次函数对称轴两侧单调性相反。

    • 2. 特殊函数类型

  • 基本初等函数：如二次函数（开口方向决定增减区间）、指数函数（底数决定整体趋势）、对数函数（定义域内单调性固定）。
  • 复合函数：根据“同增异减”法则，内外层函数单调性一致时复合函数递增，否则递减。

    • 三、实战技巧与步骤

    1. 排除法结合选项特征

  • 奇偶性排除：若函数为奇函数，排除不对称的图像选项。
  • 特殊值代入：计算特定点（如x=0、x=1）的函数值，验证是否与图像一致。
  • 极限分析：观察x趋近于正/负无穷时图像的渐近趋势，例如指数函数主导的增速或减速。

    • 2. 导数与斜率分析

  • 导数正负：图像某区间的切线斜率正负对应单调递增或递减。
  • 极值点导数变化：极值点处导数为零，两侧导数符号相反（如极大值点左侧导数为正、右侧为负）。

    • 3. 图像分段处理

  • 绝对值函数：需拆分为分段函数，分别分析各段的单调性。
  • 含参数函数：结合参数范围判断图像形态，例如二次函数开口方向与系数符号的关系。

    • 四、经典高考题型解析

    例题（2022年全国乙卷）：

    函数 ( f(x) = frac{x^3

  • x}{x^2 + 1} ) 在区间 ([-3, 3]) 的大致图像为？

    • 解题步骤：

    1. 奇偶性：计算 ( f(-x) = -f(x) )，确认是奇函数，排除非对称选项。

    2. 特殊值：代入 ( x=1 )，得 ( f(1)=0 )，排除不符选项。

    3. 极限分析：当 ( x

    o +infty )，( f(x) approx x )，排除增速不符选项。

    4. 导数验证：求导 ( f'(x) = frac{(3x^2 -1)(x^2 +1)

  • (x^3 -x)(2x)}{(x^2 +1)^2} )，分析极值点分布。

    • 五、易错点与注意事项

    1. 定义域限制：例如分式函数需排除分母为零的点，对数函数需真数大于零。

    2. 复合函数拆分：需先明确内外层函数，再应用“同增异减”法则。

    3. 图像细节误导：如渐近线、断点等可能导致误判，需结合代数验证。

    通过以上方法，结合真题训练，可快速提升通过图像判断函数单调性趋势的能力。建议重点练习含绝对值、分式、复合函数的题型，并总结高频考点的图像特征。