在高考数学中，导数与函数模型的经济应用题常涉及利润最大化、边际分析、需求弹性等核心概念。以下结合典型例题进行解析，并总结解题思路与技巧。

一、利润最大化问题

例题1（来源：）

某产品的固定成本为60,000元，变动成本为每件20元，价格函数为 ( p = 60

  • frac{x}{1000} )（( x ) 为销售量）。求：

    • (1) 生产500件时的边际收益；

    (2) 产量为多少时利润最大？最大利润是多少？

    解析：

    1. 建立函数模型：

  • 成本函数：( C(x) = 60000 + 20x )。
  • 收益函数：( R(x) = p cdot x = 60x
  • frac{x^2}{1000} )。
  • 利润函数：( L(x) = R(x)
  • C(x) = 40x - frac{x^2}{1000} - 60000 )。

    • 2. 求导分析：

  • 边际收益（收益的一阶导数）：( R'(x) = 60
  • frac{2x}{1000} )。当 ( x=500 ) 时，( R'(500) = 60 - 1 = 59 ) 元/件。
  • 利润最大化条件：令 ( L'(x) = 40
  • frac{2x}{1000} = 0 )，解得 ( x = 20000 )。代入利润函数，得最大利润 ( L(20000) = 340000 ) 元。

    • 关键点：

  • 利润最大化问题需通过求导找到极值点，并验证二阶导数为负（确保极大值）。

    • 二、边际成本与弹性分析

    例题2（来源：）

    某商品需求函数为 ( Q = 100

  • 2P )，求：

    • (1) 当 ( P=6 ) 时，价格上升1%对总收益的影响；

    (2) 总收益最大时的价格及最大收益。

    解析：

    1. 需求弹性计算：

  • 需求价格弹性公式：( E_d = frac{dQ}{dP} cdot frac{P}{Q} = (-2) cdot frac{P}{100-2P} )。
  • 当 ( P=6 ) 时，( E_d = -2 cdot frac{6}{88} approx -0.136 )。
  • 弹性绝对值小于1，说明价格上升1%时，总收益增加约0.136%。

    • 2. 总收益最大化：

  • 总收益 ( R = P cdot Q = 100P
  • 2P^2 )。
  • 求导 ( R'(P) = 100
  • 4P )，令其为零，得 ( P=25 )，最大收益 ( R=1250 )。

    • 关键点：

  • 弹性分析需结合需求函数与收益函数，注意弹性的绝对值对收益变化方向的影响。

    • 三、税收与边际利润

    例题3（来源：）

    某商品的成本函数为 ( C(x) = 50 + 2x )，需求函数为 ( Q = 10

  • 0.5P )。若征收单位产品税 ( t )，求 ( x=5 ) 时的边际利润及其经济意义。

    • 解析：

    1. 含税模型：

  • 税后成本函数：( C(x) = 50 + (2 + t)x )。
  • 收益函数：( R(x) = P cdot x = (20
  • 2x)x )。
  • 利润函数：( L(x) = R(x)
  • C(x) = -2x^2 + (18 - t)x - 50 )。

    • 2. 边际利润分析：

  • 边际利润 ( L'(x) = -4x + (18
  • t) )。当 ( x=5 ) 时，( L'(5) = -20 + 18 - t = -2 - t )。
  • 经济意义：每多生产1单位产品，利润减少 ( 2 + t ) 元，说明税收会降低边际利润。

    • 关键点：

  • 税收通过增加成本影响边际利润，需在模型中明确税收变量的作用。

    • 四、函数模型综合应用

    例题4（来源：）

    某家庭第一季度用水量与支付费用如下表：

    | 月份 | 用水量（m³） | 水费（元） |

    ||-||

    | 1 | 9 | 9 |

    | 2 | 15 | 19 |

    | 3 | 22 | 33 |

    已知水费=基本费+超额费+损耗费。若用水量≤最低限量，仅付基本费8元和损耗费( c )元；若超过，则超额部分每立方米付( b )元。求参数( a )、( b )、( c )。

    解析：

    1. 建立分段函数：

  • 若 ( x leq a )，水费 ( y = 8 + c )；
  • 若 ( x > a )，水费 ( y = 8 + c + b(x
  • a) )。

    • 2. 代入数据求解：

  • 一月份：( 9 leq a )，得 ( 8 + c = 9 )，故 ( c = 1 )。
  • 二、三月份：( 15 > a )、( 22 > a )，联立方程解得 ( a=10 )、( b=2 )。

    • 关键点：

  • 分段函数需结合实际场景建立，通过代入数据解方程组。

    • 总结与解题技巧

    1. 模型构建：明确变量关系，建立成本、收益、利润等分段或连续函数（参考）。

    2. 导数应用：通过求导找极值点（极大值或极小值），验证二阶导数符号（参考）。

    3. 经济意义解释：如边际成本表示“每多生产1单位产品的成本变化”，弹性分析反映价格敏感度（参考）。

    4. 分类讨论：涉及分段函数时，需分区间讨论参数范围（参考）。

    通过以上例题分析，考生需掌握导数工具在优化问题中的核心作用，并熟练结合实际问题建立数学模型。更多高考真题及变式训练可参考中的专项题库。