在高考中，复数的代数形式（( z = a + bi )）与几何意义（复平面上的点或向量）之间的转换是高频考点。以下是具体转换方法及典型应用场景的

一、代数形式与几何意义的对应关系

1. 基本转换方法

  • 代数→几何：复数 ( z = a + bi ) 对应复平面上的点 ( (a, b) ) 或向量 ( overrightarrow{OZ} )（从原点指向该点的向量）。
  • 几何→代数：已知复平面上的点 ( (a, b) )，可直接写出复数 ( z = a + bi )，反之亦然。

    • 2. 模的几何意义

  • 代数计算：( |z| = sqrt{a^2 + b^2} )。
  • 几何意义：表示点 ( (a, b) ) 到原点的距离或向量的长度。
  • 应用：求复数模的最值问题时，可转化为几何图形（如圆、椭圆）上的点到原点的距离分析。例如，若 ( |z
  • z_0| = r )，则对应复平面上以 ( z_0 ) 为圆心、( r ) 为半径的圆。

    • 二、代数运算的几何意义

    1. 加减法

  • 几何意义：对应向量的合成与分解。例如，( z_1 + z_2 ) 表示向量 ( overrightarrow{OZ_1} ) 与 ( overrightarrow{OZ_2} ) 的和。
  • 典型题：若 ( z_1 = 2+i )，( z_2 = cosalpha + isinalpha )，求 ( |z_1
  • z_2| ) 的最大值。解法：将 ( z_2 ) 视为单位圆上的点，转化为两点间距离的最大值问题，利用几何分析得最大值为 ( sqrt{(2+1)^2 + 1^2} = sqrt{10} )。

    • 2. 乘除法

  • 几何意义：复数的乘法对应向量的旋转和伸缩。例如，( z cdot e^{i

    heta} ) 表示将 ( z ) 对应的向量绕原点旋转 (

    heta ) 角，模长不变。
  • 应用：涉及旋转对称性的问题，如复数根的分布或轨迹分析。

    • 三、常见高考题型与解题技巧

    1. 代数形式与几何位置的互推

  • 题型：已知复数在复平面上的位置（如实轴、虚轴、象限），求代数参数范围。
  • 例：若复数 ( z = (m^2
  • 5m + 6) + (m^2 - 3m)i ) 在第四象限，求 ( m ) 的取值范围。解法：由实部 > 0、虚部 < 0 联立不等式组求解。

    • 2. 模的最值问题

  • 方法：代数法（设 ( z = a + bi )，代入约束条件求最值）或几何法（转化为几何图形的最值）。
  • 例：求满足 ( |z
  • 1| + |z + 1| = 4 ) 的复数 ( z ) 的轨迹。解法：由几何意义知轨迹是以 ( (-1, 0) ) 和 ( (1, 0) ) 为焦点的椭圆。

    • 3. 复数方程的几何意义

  • 题型：如 ( |z
  • z_1| = |z - z_2| ) 表示复平面上到两点距离相等的点的集合（垂直平分线）。
  • 例：解方程 ( |z
  • 2i| = |z + 2| )。解法：设 ( z = x + yi )，代入方程化简得 ( y = -x )，即轨迹为直线。

    • 4. 共轭复数的几何对称性

  • 性质：复数 ( z ) 与其共轭复数 ( overline{z} ) 关于实轴对称，且 ( |z| = |overline{z}| )。
  • 应用：求对称点的复数表达式或简化模的运算。

    • 四、易错点与注意事项

    1. 纯虚数与实数的几何位置

  • 纯虚数对应虚轴上的点（原点除外），实数对应实轴上的点。

    • 2. 复数与向量的对应关系

  • 向量的起点必须为原点，否则无法直接对应。例如，向量 ( overrightarrow{AB} ) 对应的复数为 ( z_B
  • z_A ) 。

    • 3. 方程根的几何分布

  • 实系数二次方程的复数根必为共轭对，对应复平面上关于实轴对称的点。

    • 五、典型例题解析（结合高考真题）

    例题（2024年新高考卷）：已知复数 ( z = frac{7}{z-1} = 1 + i )，求 ( z )。

    解法：

    1. 代数法：设 ( z = a + bi )，代入方程整理得 ( a = 1, b = -1 )，故 ( z = 1

  • i ) 。

    • 2. 几何法：由 ( |z

  • 1| = |1 + i| cdot |z
  • 1| )，结合几何意义快速求解。

    • 复数的代数形式与几何意义的转换核心在于 数形结合，需熟练掌握两者的对应关系及运算的几何解释。高考中需注意题型分类（如最值、轨迹、对称性）和灵活选择代数或几何方法，同时避免因几何意义理解偏差导致的错误。建议通过典型题目强化训练，提升解题效率。