一、秩的定义

矩阵的秩是描述矩阵中线性无关行（或列）向量个数的核心指标，反映了矩阵的“信息容量”。具体定义有两种等价表述：

1. 子式定义：矩阵中最高阶非零子式的阶数。例如，若矩阵中存在一个3阶非零子式，而所有4阶子式均为零，则其秩为3。

2. 向量组定义：行向量或列向量组的极大线性无关组所含向量个数。例如，若矩阵的行向量组中存在3个线性无关的向量，则其秩为3。

注：零矩阵的秩为0。

二、核心要点与性质

1. 秩的范围

  • 秩的范围为 ( 0 leq r(A) leq min(m, n) )，其中 ( mimes n ) 是矩阵的维度。
  • 满秩矩阵：若 ( r(A) = n )（方阵），则矩阵可逆（非奇异矩阵）。

    • 2. 秩的计算方法

  • 初等变换法：通过初等行变换将矩阵化为行阶梯形矩阵，非零行的行数即为秩。

    • 例如：

    [

    A = begin{pmatrix}

    1 & 2 & 3

    0 & 1 & -1

    0 & 0 & 0

    end{pmatrix} quad Rightarrow quad r(A)=2

    ]

  • 子式判别法：寻找最高阶的非零子式，适用于低阶矩阵。

    • 3. 秩的性质与定理

  • 初等变换不改变秩：矩阵的行（列）初等变换（倍加、交换、数乘）均不改变秩。
  • 转置不变性：( r(A) = r(A^T) )（行秩等于列秩）。
  • 乘积秩的不等式：( r(AB) leq min(r(A), r(B)) )，例如若 ( A ) 是3×2矩阵，( B ) 是2×4矩阵，则 ( r(AB) leq 2 )。
  • 秩与解的关系：
  • 齐次方程组 ( Ax=0 ) 的基础解系含 ( n
  • r(A) ) 个向量。
  • 非齐次方程组 ( Ax=b ) 有解的充要条件是 ( r(A) = r([A|b]) )。

    • 4. 典型应用与高考考点

  • 判断线性相关性：若矩阵的秩小于列数，则列向量组线性相关。
  • 分块矩阵的秩：分块对角矩阵的秩等于各子块秩之和。
  • 特殊矩阵的秩：
  • 行阶梯形矩阵的秩等于非零行数。
  • 若矩阵的行（列）向量成比例，则秩为1。

    • 三、高考常见题型与解题技巧

    1. 填空题/选择题：

  • 直接计算给定矩阵的秩（初等变换法优先）。
  • 判断矩阵秩的范围或不等式关系（如 ( r(A+B) leq r(A) + r(B) )）。

    • 2. 综合题：

  • 结合向量组的线性相关性、方程组的解的存在性进行综合考查。
  • 利用秩的性质简化行列式计算（如 ( r(A) = n ) 时，( |A|

    • eq 0 )）。

    四、总结

    矩阵的秩是高考数学线性代数部分的核心概念，需掌握其定义、计算方法和性质，并灵活应用于方程组、向量组及矩阵运算的分析中。通过初等变换法化阶梯形矩阵是快速求秩的关键技巧，而理解秩与线性空间维度的关联（如极大无关组）则有助于深化对矩阵本质的理解。