对数与指数综合题的高考真题剖析

一、核心考点与解题策略

对数与指数综合题在高考中主要考查函数性质的综合应用、运算转换能力、实际建模能力，常见以下题型方向：

1. 比较大小类：利用指数/对数函数单调性、中间值法、换底公式等工具比较代数式大小。

2. 方程与不等式：结合指数/对数运算性质，转化为线性或二次方程求解。

3. 实际应用模型：如人口增长、复利计算、病毒传播等指数增长/衰减模型。

4. 函数性质综合：研究复合函数的单调性、奇偶性、反函数关系等。

二、典型真题解析

1. 比较大小类（2020全国Ⅱ卷理科）

题目：设 ( a = log_5 3 )，( b = log_8 5 )，( c = log_{13} 8 )，则三者大小关系为（　　）

解析：

通过换底公式统一底数：

( a = frac{ln 3}{ln 5} )，( b = frac{ln 5}{ln 8} )，( c = frac{ln 8}{ln 13} )。

观察分子分母的差值，结合对数增长速率，可得 ( a > b > c )。

关键技巧：换底公式的应用与对数函数单调性分析。

2. 实际应用模型（2020海南卷）

题目：新冠肺炎累计确诊病例数的Logistic模型为 ( I(t) = frac{K}{1 + e^{-0.25(t-53)}} )，当 ( I(t) = 0.95K ) 时，求 ( t ) 的值（(ln 19 approx 3)）。

解析：

代入方程 ( 0.95K = frac{K}{1 + e^{-0.25(t-53)}} )，化简得 ( e^{0.25(t-53)} = 19 )。

取自然对数：( 0.25(t-53) = ln 19 approx 3 )，解得 ( t approx 53 + 12 = 65 )。

关键技巧：指数方程的转化与近似计算。

3. 函数性质综合题（2021天津卷）

题目：若 ( a = log_2 3 )，( b = log_3 4 )，求 ( a cdot b ) 的值。

解析：

利用换底公式：( a = frac{ln 3}{ln 2} )，( b = frac{ln 4}{ln 3} )。

相乘得 ( a cdot b = frac{ln 4}{ln 2} = 2 )。

关键技巧：换底公式的灵活运用与对数运算性质。

三、高频解题方法总结

1. 换底公式的应用：

( log_a b = frac{ln b}{ln a} )，常用于不同底数的对数转换。

例如：比较 ( log_2 5 ) 与 ( log_5 8 ) 时，可统一底数为2或自然对数。

2. 单调性与中间值法：

指数函数 ( y = a^x ) 的单调性由底数 ( a ) 决定，对数函数 ( y = log_a x ) 同理。

例如：比较 ( 3^{0.5} ) 与 ( 2^{1.2} ) 时，可通过中间值 ( 2^{1} = 2 ) 或 ( 3^{0.5} approx 1.732 ) 判断。

3. 实际问题的建模：

指数模型：( N(t) = N_0 e^{kt} )（增长）或 ( N(t) = N_0 e^{-kt} )（衰减）。

对数模型：如地震震级 ( M = log_{10} frac{I}{I_0} )，需注意单位的转换。

四、易错点与规避建议

1. 忽略定义域：

对数函数 ( log_a x ) 要求 ( x > 0 ) 且 ( a > 0 ), ( a

eq 1 )。

例如：解方程 ( log_2 (x^2

3x) = 1 ) 时，需验证 ( x^2 - 3x > 0 )。

2. 运算性质混淆：

注意 ( log_a (M pm N)

eq log_a M pm log_a N )，正确使用 ( log_a (MN) = log_a M + log_a N )。

3. 实际模型的参数误用：

如Logistic模型中需区分最大容量 ( K ) 和初始增长率 ( r ) 的作用。

五、备考建议

1. 专题训练：针对比较大小、实际应用题分类练习，强化换底公式和单调性分析。

2. 真题精析：反复研究近5年高考真题，总结命题规律（如2020-2022年多考查实际模型）。

3. 错题整理：记录典型错题，标注易错步骤（如定义域遗漏、运算性质错误）。

通过以上系统性剖析与针对性训练，可显著提升对数与指数综合题的解题能力。