导数在函数图像极值点判断中的高考核心应用

在高考数学中，导数在函数图像极值点判断中的应用是核心考点之一，涉及单调性分析、极值判定、最值求解及实际优化问题。以下是其核心应用及解题策略的

一、极值点的定义与导数条件

1. 极值点的定义

若函数在点 ( x = a ) 附近的值均小于（或大于）( f(a) )，则 ( x = a ) 是极大值点（或极小值点）。极值点需满足以下条件之一：

一阶导数条件：( f'(a) = 0 )（驻点）或导数不存在（如 ( f(x) = |x| ) 在 ( x = 0 ) 处不可导但取得极小值）。

二阶导数验证：若 ( f''(a) < 0 )，则 ( x = a ) 为极大值点；若 ( f''(a) > 0 )，则为极小值点。

2. 极值点的本质

极值点是导数的“变号零点”，即一阶导数在极值点两侧符号不同（左增右减为极大，左减右增为极小）。

极值点可能出现在驻点或不可导点，需结合函数定义域和导数存在性综合判断。

二、高考核心应用方向

1. 利用导数求函数的极值

步骤：

（1）求导 ( f'(x) )，解方程 ( f'(x) = 0 ) 得到驻点；

（2）列表分析各驻点两侧导数的符号变化，判断极值类型；

（3）验证不可导点是否为极值点。

示例：

函数 ( f(x) = x^3

3x^2 )，求导得 ( f'(x) = 3x^2

6x )，解得驻点 ( x = 0 ) 和 ( x = 2 )。通过二阶导数验证，( x = 0 ) 为极大值点，( x = 2 ) 为极小值点。

2. 闭区间上的最值问题

最大值和最小值需在区间端点和极值点处比较。例如，函数 ( f(x) ) 在 ([a, b]) 上连续且可导时，先求极值，再与 ( f(a) )、( f(b) ) 比较。

3. 极值与最值的区别

极值是局部性质，最值是全局性质；极值点不能是区间端点，而最值点可以是端点。

三、高考常见题型与解题技巧

1. 极值点的存在性判断

若函数存在极值点，需满足 ( f'(x) = 0 ) 有实根且导数符号变化。例如，( f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c ) 存在极值的条件是导函数判别式 ( Delta > 0 )。

2. 参数取值范围问题

示例：已知函数 ( f(x) = x^3

3x^2 + a ) 在区间内有极大值和极小值，求参数 ( a ) 的范围。需通过导数分析极值点存在性，结合二次方程根的分布求解。

3. 极值点偏移问题（压轴题难点）

若函数 ( f(x) ) 的极值点 ( x_0 ) 满足 ( x_1 + x_2

eq 2x_0 )，需通过构造函数或对数平均不等式证明偏移关系。例如，利用对称差函数 ( F(x) = f(x_0 + h)

f(x_0

h) ) 分析单调性。

四、典型错误与注意事项

1. 混淆极值与最值：极值不一定是整个区间内的最值，需结合端点值判断。

2. 忽略不可导点：如 ( f(x) = |x| ) 在 ( x = 0 ) 处不可导但存在极小值。

3. 二阶导数误用：若 ( f''(x_0) = 0 )，需改用一阶导数符号变化法判断极值。

五、高考真题示例

1. 2022年全国甲卷：

已知函数 ( f(x) = e^x

ax )，讨论其极值点个数并证明不等式。需结合导数分析单调性及极值存在性。

2. 2021年新高考I卷：

设 ( f(x) = ln(x + 1)

x )，证明当 ( x > 0 ) 时 ( f(x) < 0 )，需利用导数求极值并分析函数单调性。

六、备考策略

1. 基础强化：掌握导数公式、单调性与极值的关系，熟练求导及符号判断。

2. 题型分类训练：针对极值存在性、参数范围、最值应用等题型专项突破。

3. 压轴题突破：通过极值点偏移、构造函数等技巧解决复杂问题。

通过系统梳理导数的极值应用，结合真题训练和解题技巧，考生可有效提升在高考中的得分能力。