高考中如何结合奇偶性与单调性综合判断函数性质

在高考数学中，函数的奇偶性与单调性常结合考查，需综合运用两类性质解决实际问题。以下是核心方法与典型题型的

一、奇偶性与单调性的关系及解题关键

1. 奇偶性对单调区间的影响

奇函数：在关于原点对称的区间内单调性相同（若在 ( (0, +infty) ) 上递增，则在 ( (-infty, 0) ) 上也递增）。

偶函数：在关于原点对称的区间内单调性相反（若在 ( (0, +infty) ) 上递增，则在 ( (-infty, 0) ) 上递减）。

关键点：奇偶性简化函数分析，对称区间的单调性可快速推导。

2. 解题步骤

先判断奇偶性：验证定义域对称性，利用 ( f(-x) = pm f(x) ) 确定奇偶性。

再分析单调性：通过作差法、导数或已知函数模型（如二次函数、指数函数）判断单调区间。

结合性质转化问题：将不等式或方程转化为对称区间内的单调性问题，利用奇偶性简化计算。

二、典型题型及解法

1. 解不等式或比较大小

例：已知偶函数 ( f(x) ) 在 ( (0, +infty) ) 上递增，解不等式 ( f(2x) > f(1) )。

解法：

由偶函数性质，( f(2x) = f(|2x|) )，原式转化为 ( |2x| > 1 )，解得 ( x > frac{1}{2} ) 或 ( x < -frac{1}{2} )。

2. 求参数范围

例：若奇函数 ( f(x) = frac{a cdot 2^x

1}{2^x + 1} ) 在 ( mathbb{R} ) 上单调递增，求 ( a ) 的范围。

解法：

由奇函数性质得 ( f(0) = 0 )，解得 ( a = 1 )。

验证单调性：求导或通过定义法证明 ( f(x) ) 在 ( mathbb{R} ) 上递增。

3. 复合函数的单调性与奇偶性

规则：复合函数 ( f(g(x)) ) 的单调性遵循“同增异减”，奇偶性遵循“内偶则偶，内奇同外”。

例：若外层函数 ( f(u) ) 为奇函数且递增，内层函数 ( u = g(x) ) 为偶函数且递减，则 ( f(g(x)) ) 为奇函数且递减。

4. 抽象函数综合题

例：定义在 ( mathbb{R} ) 上的奇函数 ( f(x) ) 满足 ( f(x+2) = -f(x) )，且 ( f(x) ) 在 ( [0,1] ) 上递增，判断 ( f(x) ) 在 ( [1,2] ) 上的单调性。

解法：

由周期性 ( T = 4 ) 和奇函数性质，结合对称区间单调性推导。

三、易错点与突破技巧

1. 定义域优先：奇偶性需先验证定义域对称性，避免因忽略定义域导致错误。

2. 分段函数处理：分段讨论奇偶性及单调性，注意区间的连续性。

3. 数形结合：画示意图辅助分析，尤其适用于抽象函数问题，如对称轴、周期性的结合。

4. 特殊值验证：利用 ( f(0) = 0 )（奇函数）或 ( f(-a) = f(a) )（偶函数）快速缩小参数范围。

四、高考真题示例（参考思路）

题（2023全国甲卷）：设偶函数 ( f(x) ) 在 ( (0, +infty) ) 上递减，且 ( f(2) = 0 )，求满足 ( x cdot f(x) > 0 ) 的 ( x ) 范围。

解析：

由偶函数性质，( f(x) ) 在 ( (-infty, 0) ) 上递增。

结合 ( f(2) = f(-2) = 0 )，画图可知 ( x cdot f(x) > 0 ) 的解为 ( x in (-2, 0) cup (2, +infty) ) 。

掌握奇偶性与单调性的综合应用，需通过定义推导、数形结合和典型题型训练。高考中常以压轴题形式出现，建议结合真题强化逻辑推理与转化能力。