高考中对数比较大小的解题技巧

在高考数学中，对数比较大小的题目常以选择题形式出现，解题方法多样且灵活。以下综合各类资料整理的核心技巧及实例分析：

一、基础方法

1. 作差法与作商法

作差法：直接比较两数差值。若 ( a

b > 0 )，则 ( a > b )。例如比较 (ln 3) 与 (1) 时，因 (ln 3 ≈1.098 >1)，可得结论。

作商法：对正数 (a, b)，若 (a/b >1) 则 (a > b)。例如比较 (2^{0.5}) 与 (3^{0.3}) 时，可通过比值与1的关系判断。

2. 中间变量法

通过引入中间值（如0、1、2等）间接比较。例如比较 (log_2 3) 与 (log_3 4) 时，可先判断两者均大于1，再进一步分析。

3. 单调性法

利用对数函数单调性：底数 (a>1) 时，函数递增；(0

二、进阶技巧

4. 放缩法与泰勒展开

基本放缩式：如 (e^x geq x+1)、(ln x leq x-1)。例如2022年新高考题中，通过变形 (e^{0.1} < frac{1}{0.9}) 和 (ln 0.9 < -frac{1}{9}) 快速比较大小。

泰勒展开与帕德逼近：用多项式逼近复杂函数。例如估算 (sqrt{1.1}) 时，用泰勒展开式 (sqrt{1+x} approx 1+frac{1}{2}x-frac{1}{8}x^2) 提高精度。

5. 构造函数法

通过构造辅助函数并求导分析单调性。例如比较 (a=0.1e^{0.1}) 与 (b=1/9) 时，可设 (f(x)=e^x)，利用导数判断其增长速率。

三、特殊策略

6. 换底公式与对数性质

利用换底公式 (log_a b = frac{ln b}{ln a}) 统一底数。例如比较 (log_2 5) 与 (log_5 8) 时，换为自然对数后通过分子分母大小关系判断。

7. 图像法与数形结合

画出对数函数图像，观察交点位置。例如比较 (log_2 x) 与 (log_3 x) 时，通过图像交点横坐标判断不同区间的函数值大小。

8. 特殊值法与极限思想

特殊值法：取满足条件的特殊值代入简化计算。例如比较 (log_2 3) 与 (log_3 4) 时，可验证当 (x=2) 时两值的大小关系。

极限分析：对接近无穷或极小的值进行趋势判断。例如分析 (ln(1+x)) 在 (xo 0) 时的近似值。

四、注意事项与真题分析

1. 优先判断与0、1的关系：例如比较 (ln 0.5) 时，直接得出其小于0。

2. 避免计算误区：如换底时注意底数对单调性的影响，或避免误用放缩式导致方向错误。

3. 高考真题示例：

例1（2022新高考Ⅰ卷）：比较 (a=0.1e^{0.1})、(b=1/9)、(c=-ln0.9) 时，通过放缩 (e^{0.1} < frac{1}{0.9}) 得 (a < b)，再结合泰勒展开估算 (c)，最终得 (b > a > c)。

例2（2023模拟题）：比较 (log_5 2) 与 (log_8 3) 时，换底后通过分子分母比值分析大小。

基础方法是解题根基，需熟练掌握作差、作商和单调性分析。

进阶技巧如放缩、泰勒展开等适用于复杂题型，需结合题目条件灵活选择。

特殊策略在考场上可节省时间，但需注意适用条件。

综合训练时，建议结合真题和模拟题强化各类方法的应用。