高考函数单调性及周期性证明的数学归纳法案例

一、数学归纳法证明函数单调性案例

案例1：证明数列 {aₙ} = 2ⁿ 的单调递增性

步骤：

1. 基例（n=1时）：验证 a₂ > a₁

∵ a₁ = 2¹ = 2，a₂ = 2² = 4，显然 4 > 2，成立。

2. 归纳假设（n=k时）：假设 aₖ₊₁ > aₖ，即 2^{k+1} > 2^k。

3. 归纳递推（n=k+1时）：

需证 aₖ₊₂ > aₖ₊₁。

∵ aₖ₊₂ = 2^{k+2} = 2·2^{k+1} = 2·aₖ₊₁，

而由归纳假设 aₖ₊₁ > aₖ，故 2·aₖ₊₁ > 2·aₖ = aₖ₊₁，即 aₖ₊₂ > aₖ₊₁。

∴ 对任意正整数 n，{aₙ} 单调递增。

引用：

案例2：证明函数 f(x) = x² 在 (0, +∞) 上的单调递增性

步骤：

1. 基例：取 x₁ = 1，x₂ = 2，验证 f(2) > f(1)（4 > 1）。

2. 归纳假设：假设对任意 xₖ < xₖ₊₁，有 f(xₖ₊₁) > f(xₖ)。

3. 归纳递推：

需证对 xₖ₊₁ < xₖ₊₂，有 f(xₖ₊₂) > f(xₖ₊₁)。

∵ xₖ₊₂ > xₖ₊₁ > 0，

∴ xₖ₊₂²

xₖ₊₁² = (xₖ₊₂

xₖ₊₁)(xₖ₊₂ + xₖ₊₁) > 0，即 f(xₖ₊₂) > f(xₖ₊₁)。

核心方法：通过因式分解判断差值符号。

引用：

二、数学归纳法证明函数周期性案例

案例1：证明函数 f(x) = sin(x) 的周期性（周期 T = 2π）

步骤：

1. 基例：验证 f(x + 2π) = sin(x + 2π) = sin(x) = f(x)。

2. 归纳假设：假设对某个 k，有 f(x + k·2π) = f(x)。

3. 归纳递推：

需证 f(x + (k+1)·2π) = f(x + k·2π + 2π) = sin(x + k·2π + 2π) = sin(x + k·2π) = f(x + k·2π) = f(x)。

关键点：通过三角函数的周期性直接推导。

引用：

案例2：证明分段函数 f(x) 的周期性

题目：定义函数 f(x) 如下：

当 x ∈ [0,1) 时，f(x) = x；

当 x ∈ [1,2) 时，f(x) = 2

x；

并规定 f(x + 2) = f(x)。

证明 f(x) 的周期为 2

步骤：

1. 基例：验证 f(x + 2) = f(x) 对 x ∈ [0,2) 成立。

2. 归纳假设：假设对 x ∈ [n, n+2)（n 为整数），有 f(x + 2k) = f(x)。

3. 归纳递推：

对 x ∈ [n + 2k, n + 2k + 2)，有 f(x + 2(k+1)) = f(x + 2k + 2) = f(x + 2k) = f(x)。

核心思想：通过归纳扩展周期至全体实数。

引用：

三、高考高频考点与技巧总结

1. 单调性证明的核心方法：

作差法：比较 f(x₁)

f(x₂) 的符号（如因式分解、乘正因子变形）。

导数法：若 f’(x) > 0，则函数单调递增。

复合函数“同增异减”法则。

2. 周期性证明的关键点：

利用定义 f(x + T) = f(x) 直接验证。

结合对称性（如奇偶性）简化周期推导。

3. 数学归纳法的适用场景：

数列单调性、递推公式的周期性（如分段函数）。

与不等式结合的综合题（如证明数列有界性）。

四、高考真题链接

2023新高考1卷22题：通过导数判断函数单调性，结合零点定理与数学归纳法证明不等式。

2020年北京卷压轴题：利用周期性简化分段函数的求值问题。

通过以上案例和方法，考生可系统掌握数学归纳法在函数性质证明中的应用，建议结合真题强化训练。