一、核心概念对比

1. 定义与特征

  • 质数（素数）：大于1的自然数，仅能被1和自身整除，如2、3、5、7等。
  • 特点：仅有2个因数；唯一偶质数为2；质数分布无限（欧几里得证明）。
  • 合数：大于1的自然数，除了1和自身外还有其他因数，如4、6、8、9等。
  • 特点：至少3个因数；可分解为质数乘积（质因数分解定理）。
  • 特殊数：1既非质数也非合数。

    • 2. 关键区别

    | 对比项 | 质数 | 合数 |

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    高考复习必看：质数与合数核心概念对比及真题解析

    | 因数个数 | 2个（1和自身） | 至少3个 |

    | 最小数 | 2（最小质数） | 4（最小合数） |

    | 分解可能性 | 不可分解 | 可分解为质数乘积 |

    | 奇偶性 | 仅2为偶数，其余为奇数 | 奇偶均有 |

    二、判断方法与技巧

    1. 试除法

  • 质数判断：检查2到√n之间的质数是否能整除目标数。例如，判断251是否为质数，需试除2、3、5、7、11、13，均不能整除则为质数。
  • 合数判断：若存在除1和自身外的因数，则为合数。

    • 2. 质因数分解

  • 步骤：将合数分解为质数乘积，如65=5×13。
  • 应用：求最大公约数、最小公倍数等。

    • 3. 常见易错点

  • 误将1归为质数或合数。
  • 忽略2是唯一偶质数，导致奇偶性判断错误。
  • 混淆质数与合数的分解特性，如91=7×13容易被误认为是质数。

    • 三、高考真题解析

    1. 基础题型

    例题1（判断质数/合数）：

    > 在1-20中，质数有哪些？合数有哪些？

    > 答案：质数：2、3、5、7、11、13、17、19；合数：4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20。

    例题2（分解质因数）：

    > 将42分解质因数。

    > 解析：42=2×3×7。

    2. 综合应用

    例题3（质数和的应用）：

    > 两个质数的和为15，求这两个质数的乘积。

    > 解析：和为奇数，必为一奇一偶。唯一偶质数为2，另一数为13，乘积为2×13=26。

    例题4（数列与质数）：

    > 连续质数列：23、29、31、37，下一个质数是？

    > 答案：41（连续质数间隔规律）。

    3. 创新题型

    例题5（密码学背景）：

    > RSA加密算法中，质数的乘积难以分解。若两个质数的乘积为319，求这两个质数。

    > 解析：319=11×29（试除质数法）。

    四、复习策略与建议

    1. 知识梳理

  • 熟记100以内质数（共25个）。
  • 区分易混淆的合数（如51=3×17，57=3×19等）。

    • 2. 真题训练

  • 优先练习分解质因数、质数和差、奇偶性结合等高频题型。
  • 关注新高考中创新题型（如逻辑推理、数列规律）。

    • 3. 错题整理

  • 建立错题本，分析错误原因（如忽略1的特殊性、分解不彻底等）。
  • 定期重做错题，强化解题逻辑。

    • 五、总结

    质数与合数是数论的基础，高考中常与因数分解、数列、密码学等结合考查。复习时需掌握定义、判断方法及典型应用，并通过真题训练强化解题能力。特别注意易错点和创新题型的突破，确保基础分不丢，难题分多拿！