高考复数基础题解析：复数的定义与表示方法

一、复数的定义

复数是形如 ( z = a + bi ) 的数，其中：

( a ) 是实部（Real part），记为 (ext{Re}(z) = a )；

( b ) 是虚部（Imaginary part），记为 (ext{Im}(z) = b )；

( i ) 是虚数单位，满足 ( i^2 = -1 )。

分类：

当虚部 ( b = 0 ) 时，( z ) 是实数；

当实部 ( a = 0 ) 且 ( b

eq 0 ) 时，( z = bi ) 是纯虚数；

复数域是实数域的代数闭包，即所有复数多项式方程在复数域内都有解。

二、复数的表示方法

1. 代数形式

直接以 ( z = a + bi ) 表示，是最基础的表示方式。

示例：

若 ( z = 3

2i )，则实部为 3，虚部为 -2。

2. 几何表示（复平面）

复数 ( z = a + bi ) 对应复平面上的点 ( (a, b) ) 或向量：

模（长度）：( |z| = sqrt{a^2 + b^2} )；

辐角（方向）：与实轴正方向的夹角 (

heta )，满足 (

an

heta = frac{b}{a} )。

3. 三角形式

利用模和辐角表示为 ( z = r(cos

heta + isin

heta) )，其中 ( r = |z| )。

4. 指数形式

由欧拉公式 ( e^{i

heta} = cos

heta + isin

heta )，可写为 ( z = re^{i

heta} )。

三、典型高考题解析

例1：复数的代数运算

题目：已知 ( (2

i)z = 1 + 3i )，求 ( z )。

解析：

1. 两边同乘以 ( 2 + i )（分母实数化）：

[

z = frac{1 + 3i}{2

i} = frac{(1 + 3i)(2 + i)}{(2

i)(2 + i)} = frac{(2 - 3) + (6 + 1)i}{4 + 1} = frac{-1 + 7i}{5} = -frac{1}{5} + frac{7}{5}i

]

2. 答案形式为代数形式 ( a + bi )，需化简实部和虚部。

例2：纯虚数的条件

题目：若 ( a

1 + (a

2)i ) 是实数，求实数 ( a )。

解析：

虚部必须为 0，即 ( a

2 = 0 )，解得 ( a = 2 )。

关键：纯虚数的实部为 0，实数的虚部为 0。

例3：复数的几何意义

题目：复数 ( z = -1 + sqrt{3}i ) 在复平面内对应的点位于第几象限？

解析：

实部 ( a = -1 )，虚部 ( b = sqrt{3} )，对应点 ( (-1, sqrt{3}) )，位于第二象限。

例4：模与共轭复数

题目：已知 ( z = 1

2i )，求 ( |z| ) 和其共轭复数 ( overline{z} )。

解析：

模：( |z| = sqrt{1^2 + (-2)^2} = sqrt{5} )；

共轭复数：( overline{z} = 1 + 2i )，虚部符号相反。

四、高频考点总结

1. 四则运算：分母实数化是关键，如 ( frac{1}{a + bi} = frac{a

bi}{a^2 + b^2} )。

2. 模与共轭：注意 ( |z|^2 = z cdot overline{z} )，用于简化计算。

3. 几何意义：复平面中点的位置、模的几何意义（距离原点）。

4. 纯虚数条件：实部为 0 且虚部不为 0。

五、易错点提醒

1. 虚部的符号：如 ( z = 3

2i ) 的虚部是 -2，而非 -2i。

2. 纯虚数陷阱：若题目要求“纯虚数”，需验证实部是否为 0。

3. 分母实数化：复数除法必须通过乘以共轭复数化简分母。

练习推荐：

计算 ( (1 + 2i)(3

i) ) 并化简；

求复数 ( frac{1}{1

3i} ) 的虚部。

通过掌握定义、表示方法及典型题型，复数基础题可快速突破。更多真题解析可参考高考数学真题汇编。