高考统计题中的假设检验实例与答题步骤

一、假设检验的常见高考题型

在高考统计题中，假设检验通常以 卡方独立性检验 或 均值差异检验 的形式出现。以下是两类典型实例：

1. 卡方独立性检验（列联表分析）

实例（2019年高考文科数学·全国Ⅰ卷）：

某商场调查男女顾客对服务的评价，数据如下：

| | 满意 | 不满意 | 总计 |

|--||--||

| 男顾客 | 40 | 10 | 50 |

| 女顾客 | 30 | 20 | 50 |

| 总计 | 70 | 30 | 100 |

问题：是否有95%的把握认为男女顾客的评价存在显著差异？

答案要点：

计算卡方值：根据公式 ( chi^2 = sum frac{(O-E)^2}{E} )，得出卡方值为4.762。

与临界值比较：查表得显著性水平0.05对应的临界值为3.841，4.762 > 3.841，故拒绝原假设。

结论：有95%的把握认为评价存在性别差异。

2. 均值差异检验（t检验或z检验）

实例（模拟题）：

某工厂生产零件，标准重量为50g。随机抽取10个零件，测得平均重量49.5g，标准差0.8g。假设零件重量服从正态分布，检验生产是否达标（α=0.05）。

答案要点：

计算t值：( t = frac{bar{x}-mu}{s/sqrt{n}} = frac{49.5-50}{0.8/sqrt{10}} approx -1.97 )。

比较临界值：自由度为9，双侧检验临界值 ( t_{0.025} = pm2.262 )，因-1.97未超出范围，故不拒绝原假设。

二、高考假设检验答题步骤（以卡方检验为例）

1. 提出假设

原假设（H₀）：变量间独立（无关联）。

示例：男女顾客的评价无显著差异。

备择假设（H₁）：变量间相关（存在差异）。

2. 计算检验统计量

列联表中计算 期望频数：( E = frac{

ext{行合计}

imes

ext{列合计}}{

ext{总样本数}} )。

代入卡方公式 ( chi^2 = sum frac{(O-E)^2}{E} )。

注意：高考题可能直接给出公式或统计量值，需按题意灵活处理。

3. 确定显著性水平与临界值

常见显著性水平：α=0.05（95%置信度）或α=0.01（99%置信度）。

查卡方分布表，根据自由度 ( (r-1)(c-1) ) 和α值找到临界值。

示例：2×2列联表自由度为1，α=0.05对应临界值3.841。

4. 比较统计量与临界值

若统计量 > 临界值 → 拒绝H₀，支持H₁。

若统计量 ≤ 临界值 → 不拒绝H₀。

5. 结论表述

需明确回答是否“有足够的统计证据”支持差异存在，并注明置信水平。

示例：“在95%的置信水平下，认为男女顾客评价存在显著差异。”

三、易错点与注意事项

1. 原假设与备择假设的方向性：

单侧检验（如“是否提高”）需明确方向；双侧检验（如“是否不同”）需对应双侧临界值。

2. 统计量的适用条件：

卡方检验要求期望频数≥5，否则需合并类别或使用其他方法。

t检验适用于小样本且总体方差未知，z检验适用于大样本或方差已知。

3. P值与临界值的逻辑关系：

P值 < α → 拒绝H₀；P值 ≥ α → 不拒绝H₀。

常见误区：误将P值解释为原假设成立的概率，实际P值是“在H₀成立时观测到极端结果的概率”。

4. 实际意义与统计意义的区分：

统计显著≠实际影响大，需结合具体背景解释结果。

四、练习建议

1. 掌握公式推导：如卡方统计量、t统计量的计算，熟悉查表方法。

2. 模拟真题训练：参考近年高考题（如2022年甲卷、新高考卷）中的统计题，强化步骤规范性。

3. 理解概念本质：避免机械套用公式，需明确假设检验的逻辑（反证法思想）和两类错误（弃真、取伪）。