如何用不等式模型解答高考最值问题

在高考数学中，利用不等式模型解答最值问题需要综合运用多种方法和技巧。以下是针对此类问题的核心策略、典型方法及例题解析，结合高考高频考点和解题思路整理而成：

一、基本不等式的核心应用

条件：需满足“一正二定三相等”（即各项为正数、和或积为定值、等号条件成立）。

常见题型：求函数、代数式或实际应用问题中的最大值或最小值。

1. 直接法求最值

直接应用基本不等式，适用于满足条件的简单函数。

例题：已知 (x > 0)，求 (y = x + frac{4}{x}) 的最小值。

解析：

由基本不等式 (x + frac{4}{x} geq 2sqrt{x cdot frac{4}{x}} = 4)，当且仅当 (x = 2) 时取等号，最小值为 4。

2. 配凑法

通过代数变形，配凑出和或积为定值的形式。

例题：已知 (x > 1)，求 (y = 2x + frac{2}{x-1}) 的最小值。

解析：

变形为 (y = 2(x-1) + frac{2}{x-1} + 2)，利用基本不等式得最小值为 (2sqrt{4} + 2 = 6)。

3. 常数代换（“1”的代换）

将已知条件中的常数转化为“1”，再拆分应用不等式。

例题：已知 (a > 0, b > 0) 且 (a + b = 1)，求 (frac{1}{a} + frac{4}{b}) 的最小值。

解析：

将 1 代换为 (a + b)，原式变形为 (left(frac{1}{a} + frac{4}{b}right)(a + b) geq 9)，最小值为 9。

二、多元最值问题的处理策略

1. 消元法

通过消元将多元问题转化为单变量函数。

例题：已知 (x, y > 0) 且 (x + 2y = 4)，求 (xy) 的最大值。

解析：

由 (x = 4

2y)，代入得 (xy = y(4

2y) = -2y^2 + 4y)，最大值在顶点 (y = 1) 时取得，为 2。

2. 双换元法

适用于分母含多项式的分式函数。

例题：求 (y = frac{x^2 + 3x + 5}{x + 1}) 的最小值（(x > -1)）。

解析：

令 (t = x + 1)，原式变形为 (y = t + frac{4}{t} + 1 geq 5)，当 (t = 2) 时取等号。

三、特殊技巧与综合应用

1. 对勾函数法

当基本不等式等号不成立时，利用函数单调性求最值。

例题：求 (y = x + frac{1}{x}) 在 (x in [2, 5]) 的最小值。

解析：

由对勾函数性质，当 (x = 2) 时，(y = 2 + frac{1}{2} = 2.5)。

2. 实际应用问题

步骤：设变量 → 建立函数关系 → 用不等式求最值 → 验证实际意义。

例题：某工厂年利润模型为 (f(n) = 50n

(12n + 2n(n-1))

72)，求最大利润。

解析：

化简后利用二次函数或基本不等式求极值，注意 (n) 的整数限制。

四、易错点与注意事项

1. 验证等号条件：避免因忽略等号成立条件导致错误。

2. 变量范围限制：如消元后新变量的定义域可能变化。

3. 实际问题的合理性：如利润模型中 (n) 需为整数，可能需调整结果。

五、总结与备考建议

核心方法：基本不等式、配凑、消元、换元。

练习重点：选择典型题型（如分式、多元、实际应用题）强化训练。

高考趋势：近年侧重结合函数、数列等综合题型，需灵活运用不等式模型。

通过系统掌握上述方法，结合真题演练，可有效提升最值问题的解题能力。