数学期望与方差在高考经济决策题中的解题技巧

数学期望与方差在高考经济决策题中是高频考点，其核心在于通过概率模型评估不同方案的收益与风险，进而做出最优选择。以下是解题技巧与策略

一、明确题型特征与解题思路

经济决策题通常涉及投资、生产、销售等场景，要求比较不同方案的数学期望（收益）和方差（风险）。解题步骤为：

1. 识别决策类型：单阶段或多阶段决策（如是否联营、分批投资）。

2. 建立概率模型：列出所有可能结果及对应概率，确保概率和为1。

3. 计算期望与方差：通过公式计算每个方案的期望收益与风险，注意区分离散型与连续型随机变量。

4. 综合比较：结合题目要求选择“最大期望收益”或“最小风险”方案，需注意题目是否要求同时考虑期望与方差。

二、核心公式与性质

1. 数学期望：

离散型：( E(X) = sum x_i p_i )

性质：线性性 ( E(aX + b) = aE(X) + b )，独立变量期望可加。

2. 方差：

( D(X) = E(X^2)

[E(X)]^2 )

性质：( D(aX + b) = a^2 D(X) )，独立变量方差可加。

3. 特殊分布公式：

二项分布：若 ( X sim B(n, p) )，则 ( E(X) = np )，( D(X) = np(1-p) )。

超几何分布：注意无放回抽样对期望的影响。

三、高频题型与技巧

1. 投资方案选择

例题：比较股票投资（高收益高风险）与银行存款（稳定收益）的优劣。

技巧：

计算两种方案的期望收益 ( E(X) ) 和方差 ( D(X) )，若期望相近则选方差小的方案。

注意题目是否引入“变异系数”（( frac{sqrt{D(X)}}{E(X)} )）衡量单位收益的风险。

2. 生产与销售策略

例题：确定产品生产量以最大化利润。

技巧：

建立利润函数 ( Y = kX

c )，其中 ( X ) 为需求量，( k ) 为单价，( c ) 为成本。

计算不同产量下的期望利润 ( E(Y) )，选择最大值。

3. 风险评估与保险问题

例题：计算保险公司应收取的保费。

技巧：

设保费为 ( a )，赔付金额为随机变量 ( X )，则需满足 ( E(a

X) geq 目标利润 ) 。

若赔付风险高（方差大），需提高保费或设置免赔额。

四、易错点与突破策略

1. 概率模型错误：忽略互斥事件或重复计算概率。需画树状图或表格梳理所有可能结果。

2. 公式误用：混淆二项分布与超几何分布的方差公式。注意区分有放回与无放回抽样。

3. 忽略实际意义：仅比较期望而忽略方差。例如，高期望伴随高风险时，需结合题目中的风险偏好（如“稳健型”或“激进型”）选择方案。

五、实战演练建议

1. 经典题训练：如网页16中的“种子播种方案选择”和网页26中的“联营决策问题”，掌握建模与计算流程。

2. 综合应用题：练习与数列、函数结合的经济题（如分期付款、复利计算），注意跨章节知识整合。

3. 限时训练：模拟考场环境，提升计算速度和准确性，尤其注意分步列式避免计算错误。

通过系统掌握以上技巧，考生可快速识别题目关键，灵活运用期望与方差工具解决复杂经济决策问题，在高考中高效得分。