正切函数与正弦函数周期性差异在高考中的考点分析

在高考数学中，正切函数与正弦函数的周期性差异是三角函数板块的重要考点，常结合图像、性质及综合应用进行考查。以下是具体分析：

1. 周期长度的直接考查

正切函数：周期为 π，即满足 (

an(x + π) =

an x )。

典型考法：直接判断周期长度，或通过变形后的函数求周期。例如，求 (an(2x) ) 的周期时需注意系数对周期的影响（答案为 ( frac{π}{2} )）。

正弦函数：周期为 2π，即 ( sin(x + 2π) = sin x )。

典型考法：结合图像平移或伸缩变换后的周期计算。例如，( sin(3x + frac{π}{4}) ) 的周期为 ( frac{2π}{3} ) 。

差异点：正切函数的周期仅为正弦函数的一半，这一特性常被用于周期比较类题目中。

2. 周期性对图像特征的影响

正切函数：

图像在每周期内（如 ( (-frac{π}{2}, frac{π}{2}) )）呈现 上升趋势 且 ，存在渐近线 ( x = frac{π}{2} + kπ )。

高考考点：通过周期性判断渐近线位置，或分析图像的交点个数（如方程 (an x = k ) 的解的个数）。

正弦函数：

图像为 连续波浪形，在每周期内有 一个波峰和一个波谷，值域为 ([-1, 1])。

高考考点：结合周期性分析最值、单调区间或对称轴（如 ( x = frac{π}{2} + kπ ) 是否为对称轴）。

关键差异：正切函数图像的“不连续性”与周期性结合，易在定义域限制类题目中设置陷阱，例如求 (

an(2x) ) 的定义域需考虑周期缩短后的渐近线间隔。

3. 周期性与解题技巧的结合

正切函数：

利用周期为 π 的特性，可快速化简表达式。例如，比较 (

an 1 ) 与 (

an 4 ) 的大小时，需将角度调整到同一周期内再判断。

高频题型：解三角方程 (an x = a )，需写出所有周期内的解（如 ( x = arctan a + kπ )）。

正弦函数：

周期为 2π 的特性常与复合函数结合，例如求 ( sin^2 x ) 的周期时需注意平方导致的周期缩短为 π。

综合应用：在三角函数模型中（如简谐运动），周期长度直接关联物理意义（如振动频率）。

典型例题：

> 若函数 ( f(x) =

an(ωx + φ) ) 的周期为 ( frac{π}{3} )，则 ω 的值为多少？

> 答案：( ω = 3 )，因 ( T = frac{π}{|ω|} )。

4. 与其他性质的联动考查

奇偶性：

正切函数为 奇函数，结合周期性可推导对称中心（如 ( (frac{kπ}{2}, 0) )）。

正弦函数为 奇函数，对称中心为 ( (kπ, 0) )，常与周期性结合考查图像对称性。

单调性：

正切函数在每个周期内 严格递增，而正弦函数在每半个周期内 先增后减，需注意周期性对单调区间的影响。

综合题示例：

> 比较 (

an frac{5π}{7} ) 与 (

an frac{12π}{7} ) 的大小。

> 解析：利用周期性将 ( frac{12π}{7} ) 化为 ( frac{12π}{7}

π = frac{5π}{7} )，结合正切函数在 ( (-frac{π}{2}, frac{π}{2}) ) 内递增，可知 (

an frac{5π}{7} =

an frac{5π}{7} ) 与 (

an frac{12π}{7} =

an frac{5π}{7} )，两者相等。

5. 高考命题趋势与备考建议

趋势：近年高考更注重周期性与图像、实际应用的结合，例如通过周期差异设计函数交点问题或动态变化模型。

建议：

1. 熟记正切函数与正弦函数的周期公式及变形。

2. 强化图像绘制能力，理解周期对图像形态的影响。

3. 练习综合题时，注意周期性与奇偶性、单调性的联动分析。

通过以上分析，考生需明确两种函数周期性的核心差异，并掌握其在解题中的灵活应用。