泰勒级数（泰勒展开式）在高考导数大题中的应用逐渐成为命题热点，尤其是在比较大小、不等式证明、极值点分析等压轴题中。以下是结合近年高考真题和模拟题的典型例题分析：

一、比较大小问题

例题1（2022年全国甲卷理科第12题）

已知 ( a = frac{1}{e^{0.1}} )，( b = 1

  • 0.1 )，( c = sin 0.1 )，比较 ( a, b, c ) 的大小。

    • 分析：

    1. 泰勒展开近似：

  • ( e^x ) 在 ( x=0 ) 处的展开式：( e^x approx 1 + x + frac{x^2}{2} + frac{x^3}{6} )。

    • 取 ( x = -0.1 )，得 ( a = e^{-0.1} approx 1

  • 0.1 + frac{0.01}{2}
  • frac{0.001}{6} approx 0.9048 )。
  • ( sin x ) 在 ( x=0 ) 处的展开式：( sin x approx x
  • frac{x^3}{6} )。

    • 取 ( x = 0.1 )，得 ( c approx 0.1

  • frac{0.001}{6} approx 0.0998 )。
  • ( b = 0.9 )。

    • 2. 比较结果：

    通过展开式可得 ( c < b < a )，但实际高考题中需构造辅助函数结合导数验证（如 ( f(x) = e^x

  • (1 + x) ) 的单调性）。

    • 关键点：泰勒展开提供快速近似值，但需结合导数验证不等关系。

    二、不等式证明问题

    例题2（2014年全国卷I理21题）

    证明：当 ( x > 0 ) 时，( e^x > 1 + x )。

    分析：

    1. 泰勒展开式：

    ( e^x ) 在 ( x=0 ) 处的展开式为 ( 1 + x + frac{x^2}{2!} + cdots )，显然 ( e^x geq 1 + x )（余项非负）。

    2. 构造函数：

    设 ( f(x) = e^x

  • (1 + x) )，求导得 ( f'(x) = e^x
  • 1 )，当 ( x > 0 ) 时 ( f'(x) > 0 )，故 ( f(x) ) 单调递增，且 ( f(0) = 0 )，因此 ( f(x) > 0 )。

    • 关键点：泰勒展开直接提供不等式依据，结合导数分析余项非负性。

    三、极值点偏移问题

    例题3（2018年全国III卷导数题）

    已知函数 ( f(x) = x ln x )，讨论其极值点性质。

    分析：

    1. 泰勒展开辅助分析：

    在极值点 ( x = frac{1}{e} ) 处展开 ( f(x) )，得到：

    [

    f(x) approx fleft(frac{1}{e}right) + f''left(frac{1}{e}right)frac{(x

  • frac{1}{e})^2}{2} + cdots

    • ]

    通过二阶展开可知极值点附近函数形态，结合对称性证明偏移问题。

    2. 导数验证：

    通过比较 ( f(x) ) 在极值点两侧的导数符号变化，结合泰勒余项分析单调性。

    关键点：泰勒展开揭示极值点附近的局部性质，辅助分析偏移现象。

    四、函数放缩与恒成立问题

    例题4（2020年全国I卷理21题）

    已知 ( f(x) = e^x + ax^2

  • x )，当 ( x geq 0 ) 时 ( f(x) geq frac{1}{2}x^3 + 1 )，求 ( a ) 的取值范围。

    • 分析：

    1. 泰勒展开与多项式匹配：

    将 ( e^x ) 展开至三阶：( e^x approx 1 + x + frac{x^2}{2} + frac{x^3}{6} )，代入原不等式，整理后匹配系数确定 ( a ) 的临界值。

    2. 端点效应与导数验证：

    在 ( x = 0 ) 处展开，结合端点效应确定 ( a geq frac{7

  • e^2}{4} )，并通过导数分析余项的影响。

    • 五、综合应用与命题规律

    1. 命题背景：

    泰勒展开式常作为题设背景，通过变形、赋值、换元等操作构造不等式或比较关系。

    泰勒级数在高考导数大题中的典型例题分析

    2. 答题策略：

  • 小题：直接使用泰勒展开快速估算（如 ( e^{0.1} approx 1.105 )，( ln 1.1 approx 0.0953 )）。
  • 大题：需结合导数工具验证泰勒展开的余项性质，避免直接引用高等数学结论。

    • 3. 高频考点函数：

  • 指数函数 ( e^x )：展开式为 ( 1 + x + frac{x^2}{2!} + cdots )。
  • 对数函数 ( ln(1+x) )：展开式为 ( x
  • frac{x^2}{2} + frac{x^3}{3} - cdots )。
  • 三角函数 ( sin x )、( cos x )：奇偶项交替展开。

    • 六、注意事项

    1. 阶数选择：根据题目精度要求选择展开阶数，例如比较大小需展开至二阶或三阶，极值点分析需二阶展开。

    2. 教材衔接：新教材在习题中引入泰勒展开，但需通过导数证明基本不等式（如 ( e^x geq 1 + x )）后再使用。

    3. 避免误区：泰勒展开是局部近似，需结合导数验证全局性质，不可直接用于所有区间。

    通过以上分析可见，泰勒级数为高考导数题提供了高效的解题视角，但其应用需与高中导数工具紧密结合，体现“以直代曲”的数学思想。