离散型随机变量数学期望的计算步骤与高考真题举例

一、数学期望的计算步骤

1. 明确随机变量的定义与可能取值

确定题目中离散型随机变量 ( X ) 的所有可能取值 ( x_1, x_2, ldots, x_n )。例如，投掷骰子时可能取值为1到6，或投篮命中次数为0, 1, 2等。

2. 求分布列（概率质量函数）

计算每个取值对应的概率 ( P(X = x_i) )，并验证是否满足 (sum P(X = x_i) = 1)。例如，二项分布的概率公式为 ( P(X = k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} ) 。

3. 计算加权和（期望值）

数学期望公式：

[

E(X) = sum_{i=1}^n x_i cdot P(X = x_i)

]

需注意绝对收敛性（高考中一般默认成立）。对于复杂问题，可利用期望的线性性质（如 ( E(aX + b) = aE(X) + b )）简化计算。

4. 验证合理性

检查结果是否符合实际意义。例如，期望值应在随机变量的取值范围内，且概率分布需合理。

二、高考真题举例

1. 2022年全国甲卷（理）第19题

题目：甲、乙两人进行投篮比赛，规则如下：每次投篮命中得2分，未命中得0分，甲命中率为0.6，乙命中率为0.8。比赛结束条件为一方领先2分或打满5局。求比赛结束时甲得分 ( X ) 的数学期望。

解析：

确定 ( X ) 的可能取值为0, 2, 4（根据比赛结束条件）。

计算各概率：如甲赢两局的概率为 ( 0.6^2 )，平局后继续比赛的概率等。

加权求和得 ( E(X) = 2.4 )（具体计算需分情况讨论）。

2. 2021年新高考Ⅰ卷第18题

题目：从装有白球和黑球的袋中摸球，直到摸到白球为止，求取出黑球数的期望。

解析：

设黑球数为 ( X )，可能取值为0, 1, 2, ..., ( n )。

分布列：( P(X = k) = left(frac{m}{m+n}right)^k cdot frac{n}{m+n} )（几何分布）。

计算得 ( E(X) = frac{n}{m} )（利用几何分布期望公式）。

3. 2023年新高考Ⅱ卷第18题

题目：核酸检测采用“10合1混采”，若100人中2人感染，求检测总次数的期望。

解析：

若感染者分在同一组，总次数为20次；若分开，总次数为30次。

计算感染者同组的概率 ( frac{1}{11} )，得期望 ( E(X) = 20 cdot frac{1}{11} + 30 cdot frac{10}{11} approx 28.18 ) 。

三、注意事项与技巧

1. 灵活应用分布类型

两点分布（0-1分布）、二项分布、超几何分布等常见分布的期望公式可直接使用（如二项分布 ( E(X) = np )）。

复杂问题可分解为多个简单随机变量之和（如 ( X = X_1 + X_2 + ldots + X_n )）。

2. 注意概率模型的转化

如“摸球不放回”转化为超几何分布，“独立重复试验”转化为二项分布。

3. 高考高频考点

结合实际问题建立分布列（如比赛得分、核酸检测次数）。

多步骤问题中期望的递推计算（如马尔可夫链模型）。

四、总结

掌握离散型随机变量数学期望的计算步骤，需熟练运用分布列、加权求和及期望性质，并通过高考真题强化实际应用能力。建议多做分类练习（如超几何分布与二项分布的对比），并注重分布列的完整性验证。