线性方程组解的判定条件主要依赖于系数矩阵与增广矩阵的秩，以及未知数的个数。以下是具体分类及判定条件：

一、非齐次线性方程组（Ax = b）

1. 无解

当系数矩阵的秩 < 增广矩阵的秩（即 ( r(A) < r(A|b) )）时，方程组中存在矛盾方程（如 ( 0 = d ) 且 ( d

eq 0 )），导致无解。

判定方法：高斯消元后，若增广矩阵中出现形如 ([0,0,dots,0|d])（( d

eq 0 )）的行，则无解。

2. 唯一解

当系数矩阵的秩 = 增广矩阵的秩 = 未知数个数（即 ( r(A) = r(A|b) = n )）时，方程组有且仅有一个解。

几何意义：在几何空间中，方程对应的超平面相交于唯一一点。

3. 无穷多解

当系数矩阵的秩 = 增广矩阵的秩 < 未知数个数（即 ( r(A) = r(A|b) < n )）时，方程组存在自由变量（未被约束的未知数），解可表示为特解与齐次通解的线性组合。

几何意义：方程对应的超平面相交于一条直线或更高维空间。

二、齐次线性方程组（Ax = 0）

齐次方程组必有解（至少零解），其解的情况如下：

1. 仅有零解

当系数矩阵的秩 = 未知数个数（即 ( r(A) = n )）时，唯一解为 ( x = 0 )。

2. 非零解（无穷多解）

当系数矩阵的秩 < 未知数个数（即 ( r(A) < n )）时，存在自由变量，解空间维度为 ( n

  • r(A) )，通解形式为自由变量的线性组合。

    • 三、关键判定步骤

    1. 化为行阶梯形：通过高斯消元法将系数矩阵或增广矩阵化简为行阶梯形矩阵，确定秩的大小。

    2. 比较秩与未知数个数：

  • 若 ( r(A)

    • eq r(A|b) )，则无解。

  • 若 ( r(A) = r(A|b) )，进一步判断是否等于 ( n )（唯一解）或小于 ( n )（无穷解）。

    • 四、示例辅助理解

  • 无解示例：

    • [

    begin{cases}

    x + y = 3

    x + y = 5

    end{cases}

    ]

    增广矩阵秩为2，系数矩阵秩为1，矛盾方程导致无解。

  • 无穷解示例：

    • [

    begin{cases}

    x + y = 2

    2x + 2y = 4

    end{cases}

    ]

    系数矩阵秩为1，自由变量存在，解为 ( x = 2

    线性方程组无解、唯一解、无穷解的判定条件

  • y )（( y ) 任意）。

    • 总结

  • 非齐次方程组：通过 ( r(A) ) 与 ( r(A|b) ) 的关系判定解的存在性和类型。
  • 齐次方程组：通过 ( r(A) ) 与 ( n ) 的关系判断解的结构。

    • 核心工具：矩阵的秩与高斯消元法。