在高考数学中，结合分布列与概率密度函数的期望值题型是概率统计部分的核心考点。以下从题型分类、解题思路及典型例题进行归纳：

一、离散型随机变量期望题型

1. 基础分布列直接求期望

  • 题型特征：直接给出随机变量的分布列，要求计算期望。
  • 解题方法：利用公式 ( E(X) = sum x_i p_i )，逐项相乘后求和。
  • 示例：

    • 若分布列为：

    [

    begin{array}{c|cc}

    X & 0 & 1

    hline

    P & frac{1}{3} & frac{2}{3}

    end{array}

    ]

    则 ( E(X) = 0

    imes frac{1}{3} + 1

    结合分布列与概率密度函数的高考期望值题型归纳

    imes frac{2}{3} = frac{2}{3} )。

    2. 实际应用题构建分布列

  • 题型特征：结合实际问题（如摸球、抽奖、游戏规则）抽象出分布列。
  • 解题步骤：

    • 1. 确定随机变量 ( X ) 的可能取值；

    2. 计算每个取值的概率；

    3. 列分布列并求期望。

  • 典型例题（参考网页1、28）：

    • 例：从装有3个白球、2个黑球的袋中不放回摸球，直到摸到黑球停止。设摸球次数为 ( X )，求 ( E(X) )。

    解析：

    ( X ) 的可能值为1, 2, 3, 4，对应概率依次为 ( frac{2}{5} )、( frac{3}{5}

    imes frac{2}{4} = frac{3}{10} )，以此类推，计算期望。

    3. 常见离散分布的期望公式应用

  • 二项分布：( X sim B(n, p) )，则 ( E(X) = np )。

    • 例：10次独立重复试验中成功次数的期望为 ( 10

    imes 0.3 = 3 )。

  • 超几何分布：( X sim H(N, M, n) )，则 ( E(X) = frac{nM}{N} )。

    • 例：从10件产品（3件次品）中任取4件，次品数的期望为 ( 4

    imes frac{3}{10} = 1.2 )。

    二、连续型随机变量期望题型

    1. 已知概率密度函数直接积分

  • 题型特征：给出概率密度函数 ( f(x) )，要求计算期望。
  • 解题方法：利用公式 ( E(X) = int_{-infty}^{+infty} x f(x) dx )。
  • 典型例题（参考网页51）：

    • 例：设 ( X ) 服从均匀分布 ( U(a, b) )，求 ( E(X) )。

    解析：

    ( f(x) = frac{1}{b-a} )（( a leq x leq b )），则 ( E(X) = int_a^b x cdot frac{1}{b-a} dx = frac{a+b}{2} )。

    2. 正态分布与期望

  • 题型特征：利用正态分布的对称性求期望。
  • 关键公式：若 ( X sim N(mu, sigma^2) )，则 ( E(X) = mu )。

    • 例：某次考试分数服从 ( N(75, 10^2) )，则平均分为75。

    三、综合题型与高阶技巧

    1. 递推关系与马尔科夫链

  • 题型特征：涉及状态转移（如传球、游走模型），需建立递推方程求期望。
  • 解题步骤：

    • 1. 定义状态变量（如第 ( n ) 次传球后球在甲手中的概率 ( P_n )）；

    2. 建立递推关系 ( P_n = a P_{n-1} + b )；

    3. 求解递推数列。

  • 示例（参考网页1）：

    • 例：甲、乙、丙三人传球，甲先传，每次传球等概率给其他人，求第 ( n ) 次传球后球在甲手中的期望次数。

    解析：设 ( a_n ) 为第 ( n ) 次传球在甲手中的概率，则 ( a_n = frac{1}{2}(1

  • a_{n-1}) )，通过递推得 ( a_n = frac{1}{3} + left( frac{-1}{2} right)^n cdot frac{2}{3} )。

    • 2. 函数型随机变量的期望

  • 题型特征：随机变量 ( Y = g(X) )，求 ( E(Y) )。
  • 解题方法：离散型用 ( sum g(x_i) p_i )，连续型用 ( int g(x) f(x) dx )。

    • 例：设 ( X ) 的分布列为 ( P(X=k) = frac{1}{6} )（( k=1,2,...,6 )），求 ( E(2X+1) )。

    解析：( E(2X+1) = 2E(X) + 1 = 2

    imes 3.5 + 1 = 8 )。

    四、易错点与注意事项

    1. 验证分布列的正确性：概率和需为1（如网页18提到）。

    2. 区分离散与连续型：连续型概率密度函数积分得1，离散型概率和为1。

    3. 活用期望性质：如线性性 ( E(aX+b) = aE(X)+b )，独立性下 ( E(XY)=E(X)E(Y) )。

    典型高考真题选讲（参考网页1、28、34）

    1. 马尔科夫链传球模型：

    题目：三人传球，求第4次传球后球回到甲手的概率及期望次数。

    解析：通过递推公式 ( P_n = frac{1}{2}(1

  • P_{n-1}) ) 并求解数列，得 ( P_4 = frac{5}{16} )。

    • 2. 超几何分布应用：

    题目：从10件产品（3件次品）中任取4件，求次品数的期望。

    解析：直接应用 ( E(X) = frac{nM}{N} = frac{4

    imes 3}{10} = 1.2 )。

    3. 连续型均匀分布：

    题目：随机变量 ( X ) 在区间 ([2,5]) 上均匀分布，求 ( E(X^2) )。

    解析：计算 ( E(X^2) = int_2^5 x^2 cdot frac{1}{3} dx = frac{1}{3} left[ frac{5^3

  • 2^3}{3} right] = 13 )。

    • 通过以上题型归纳，建议考生重点掌握分布列的构建、常见分布的期望公式及递推模型的应用，结合真题强化训练，提升解题效率。