一、周期性的基本定义与公式

1. 周期定义：若存在最小正数 ( T )，使得对函数定义域内的任意 ( x )，满足 ( f(x + T) = f(x) )，则 ( T ) 是函数的最小正周期。

2. 常见三角函数的周期公式：

  • 正弦/余弦型函数 ( y = Asin(omega x + varphi) ) 或 ( y = Acos(omega x + varphi) )：周期 ( T = frac{2pi}{|omega|} )；
  • 正切型函数 ( y = Aan(omega x + varphi) )：周期 ( T = frac{pi}{|omega|} )。

    • 二、典型解法与步骤

    解法1：定义法（直接验证）

  • 适用场景：简单三角函数或可化简为基本形式的函数。
  • 步骤：

    • 1. 化简函数：将表达式转换为标准形式（如 ( sin )、( cos )、(

    an ) 的单一形式）。

    2. 假设周期 ( T )：根据基本周期公式初步假设可能的周期。

    3. 验证 ( f(x + T) = f(x) )：代入验证所有 ( x ) 是否满足周期性。

  • 示例：

    • 证明 ( f(x) = sin(2x) ) 的周期为 ( pi )。

    解：化简为 ( sin(2x) )，基本周期公式 ( T = frac{2pi}{2} = pi )。验证 ( sin[2(x + pi)] = sin(2x + 2pi) = sin(2x) )，成立。

    解法2：公式法（直接应用周期公式）

  • 适用场景：函数已明确为 ( Asin(omega x + varphi) )、( Acos(omega x + varphi) ) 或 ( Aan(omega x + varphi) ) 形式。
  • 步骤：

    • 1. 识别参数 ( omega )：提取函数中角频率参数 ( omega )。

    2. 代入周期公式：根据函数类型（正弦/余弦或正切）计算周期。

  • 示例：

    • 求 ( f(x) = 3cosleft(frac{x}{2} + frac{pi}{4}right) ) 的周期。

    解：( omega = frac{1}{2} )，周期 ( T = frac{2pi}{frac{1}{2}} = 4pi )。

    解法3：转化法（处理绝对值或复合形式）

  • 适用场景：含绝对值、分段函数或复合表达式。
  • 步骤：

    • 1. 去绝对值或分段处理：利用 ( |a| = sqrt{a^2} ) 或分区间讨论。

    2. 化简为标准形式：结合三角恒等式（如平方关系、二倍角公式）化简。

  • 示例：

    • 求 ( f(x) = |sin x| ) 的周期。

    解：原函数可视为 ( sqrt{sin^2 x} )，利用恒等式 ( sin^2 x = frac{1

  • cos 2x}{2} )，周期为 ( pi )。

    • 解法4：最小公倍数法（复合函数周期）

  • 适用场景：函数为多个周期函数的和或积，如 ( f(x) = sin 3x + cos 5x )。
  • 步骤：

    • 1. 求各子函数的周期：如 ( T_1 = frac{2pi}{3} )，( T_2 = frac{2pi}{5} )。

    2. 求最小公倍数：将各周期化为分数形式，计算分子的最小公倍数除以分母的最大公约数。

  • 示例：

    • 求 ( f(x) = sin 3x +

    an frac{2x}{5} ) 的周期。

    解：( sin 3x ) 的周期为 ( frac{2pi}{3} )，(

    an frac{2x}{5} ) 的周期为 ( frac{5pi}{2} )。最小公倍数 ( T = 10pi )。

    三、解题技巧与易错点

    1. 化简优先：遇到复杂表达式时，优先使用三角恒等式（如降幂公式、和差角公式）化简。

    2. 验证最小性：周期需为最小正数，避免误将 ( 2T )、( 3T ) 等作为答案。

    3. 注意隐藏条件：如分式函数需考虑定义域，绝对值可能改变周期。

    4. 数形结合：通过图像辅助判断周期性，尤其适合含绝对值的函数。

    四、高考真题示例（结合步骤）

    例题（2023年新课标Ⅱ卷）：已知函数 ( f(x) = sin(omega x + varphi) )，若其图像关于点 ( left(frac{3pi}{2}, 2right) ) 对称，求周期并证明。

  • 解法：

    • 1. 对称性分析：中心对称意味着 ( fleft(frac{3pi}{2}

  • xright) + fleft(frac{3pi}{2} + xright) = 4 )。

    • 2. 化简函数：结合对称条件，得 ( omega cdot frac{3pi}{2} + varphi = kpi + frac{pi}{2} )（( k in mathbb{Z} )）。

    3. 求周期：由 ( omega ) 与周期的关系 ( T = frac{2pi}{omega} )，代入解得具体值。

    掌握三角函数的周期性证明，需灵活运用定义法、公式法及转化策略，并注意化简与验证。高考中常结合对称性、极值点等综合考查，需强化对函数图像和性质的综合分析能力。