二项分布与超几何分布是高考概率统计中的核心考点，两者的区别与联系常以实际应用题形式出现。以下结合教材定义、典型例题及高考命题规律，系统总结二者的区别与联系：

一、核心区别

| 特征 | 超几何分布 | 二项分布 |

|-|--||

| 抽样方式 | 不放回抽样（有限总体） | 放回抽样（或近似无限总体） |

| 数学本质 | 古典概型（组合数计算概率） | 独立重复试验（概率乘积） |

| 概率公式 | ( P(X=k) = frac{C_M^k C_{N-M}^{n-k}}{C_N^n} ) | ( P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} ) |

| 期望与方差 | ( E(X) = nfrac{M}{N} ), ( D(X) = nfrac{M}{N}(1-frac{M}{N})frac{N-n}{N-1} ) | ( E(X) = np ), ( D(X) = np(1-p) ) |

| 题目关键词 | “不放回”“任取n件”“有限总数”“分层抽样” | “独立重复”“频率视为概率”“总体很大” |

典型区别实例：

  • 超几何分布：从10件产品（含3件次品）中不放回抽5件，求次品数分布。
  • 二项分布：某社区1万人中患病率为2%，任选3人，求患病人数分布。

    • 二、核心联系

    1. 期望值的统一性

    当总体( N )很大时，超几何分布的期望( E(X) = nfrac{M}{N} )与二项分布的期望( E(X) = np )一致（此时( p = frac{M}{N} )），但方差不同（超几何方差更小）。

    应用场景：题目中出现“用样本估计总体”“总体很大”时，可用二项分布近似超几何分布。

    2. 大样本近似

    当( N )趋近于无穷大时，超几何分布的概率趋近于二项分布（即不放回抽样近似为放回抽样）。此时两者的概率差异可忽略不计，但需注意题目是否允许近似。

    3. 实际问题的转化

    若题目明确要求“以频率作为概率”或“独立重复试验”，则无论总体是否有限，均需使用二项分布；若强调“不放回”“有限数量”，则必须用超几何分布。

    三、高考命题方向与解题策略

    1. 题型特点

  • 选择题：通过关键词快速判断分布类型（如“任取3人”为超几何，“独立射击”为二项）。
  • 解答题：结合实际问题区分分布，计算概率、期望或方差，可能要求比较两种模型的差异。

    • 2. 易错点

  • 混淆抽样方式：未注意“不放回”导致误用二项分布。
  • 忽略修正因子：计算超几何方差时忘记乘以( frac{N-n}{N-1} )。
  • 误判近似条件：总体不够大时强行用二项分布近似超几何分布。

    • 3. 解题步骤

  • Step 1：明确抽样方式（放回与否）及总体大小。
  • Step 2：根据关键词选择模型（超几何或二项）。
  • Step 3：代入对应公式计算概率、期望或方差。
  • Step 4：若涉及近似，验证总体是否足够大（一般( n leq 0.1N )时可近似）。

    • 四、典型例题分析

    例题（改编自2021年高考题）：

    某工厂有1000件产品，其中50件不合格。现从中任取4件：

    (1) 若不放回抽取，求恰有1件不合格的概率；

    (2) 若放回抽取，求恰有1件不合格的概率。

    解析：

  • (1) 超几何分布：( P(X=1) = frac{C_{50}^1 C_{950}^3}{C_{1000}^4} )。
  • (2) 二项分布：( P(X=1) = C_4^1 left(frac{50}{1000}right)^1 left(frac{950}{1000}right)^3 )。

    • 注意：虽然总体很大，但题目明确要求“不放回”时不可用二项分布近似。

    五、总结

    掌握二项分布与超几何分布的核心差异（抽样方式与数学本质）及其联系（大总体近似），结合题目关键词灵活选择模型，是高考解题的关键。务必通过典型例题强化对公式和条件的敏感度，避免因概念混淆失分。