圆的一般方程形式为 (x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0)（需满足 (D^2 + E^2

  • 4F > 0)）。通过配方法可将其转化为标准方程：

    • [

    (x + frac{D}{2})^2 + (y + frac{E}{2})^2 = frac{D^2 + E^2

  • 4F}{4}

    • ]

    由此可直接得出：

  • 圆心坐标：(left( -frac{D}{2}, -frac{E}{2} right))
  • 半径公式：(r = frac{sqrt{D^2 + E^2
  • 4F}}{2})

    • 二、公式推导过程（配方法）

    1. 分离变量：将一般方程中的 (x) 和 (y) 项分组：

    [

    x^2 + Dx + y^2 + Ey = -F

    ]

    2. 配方：对 (x) 和 (y) 分别配方：

    [

    (x^2 + Dx + frac{D^2}{4}) + (y^2 + Ey + frac{E^2}{4}) = frac{D^2 + E^2}{4}

  • F

    • ]

    3. 整理成标准方程：

    [

    left( x + frac{D}{2} right)^2 + left( y + frac{E}{2} right)^2 = frac{D^2 + E^2

  • 4F}{4}

    • ]

    由此推导出圆心和半径 。

    三、解题步骤总结

    1. 判断是否为圆：验证 (D^2 + E^2

  • 4F > 0)，否则不表示圆。

    • 2. 直接代入公式：

  • 圆心：(left( -frac{D}{2}, -frac{E}{2} right))
  • 半径：(frac{sqrt{D^2 + E^2
  • 4F}}{2})

    • 3. 验证条件：若题目给出参数范围，需结合不等式限制条件 。

    四、真题演练

    例题1：求圆心和半径

    题目：已知圆的方程为 (x^2 + y^2

  • 4x + 6y + 9 = 0)，求圆心坐标和半径。

    • 解：

  • 对比一般方程，得 (D = -4)，(E = 6)，(F = 9)。
  • 圆心：(left( -frac{-4}{2}, -frac{6}{2} right) = (2, -3))
  • 半径：(r = frac{sqrt{(-4)^2 + 6^2
  • 4imes 9}}{2} = frac{sqrt{16 + 36 - 36}}{2} = 2)

    • 例题2：已知三点求圆方程

    题目：求过点 (A(0,0))、(B(1,1))、(C(4,2)) 的圆的方程。

    解：

    1. 设一般方程为 (x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0)。

    2. 代入三点坐标：

    [

    begin{cases}

    0 + 0 + 0 + 0 + F = 0 Rightarrow F = 0

    1 + 1 + D + E + 0 = 0 Rightarrow D + E = -2

    16 + 4 + 4D + 2E + 0 = 0 Rightarrow 4D + 2E = -20

    end{cases}

    ]

    3. 解得 (D = -8)，(E = 6)，方程为 (x^2 + y^2

  • 8x + 6y = 0) 。

    • 例题3：轨迹问题

    题目：已知线段 (AB) 的端点 (B(4,3))，端点 (A) 在圆 ((x-1)^2 + y^2 = 4) 上运动，求中点 (M) 的轨迹方程。

    解：

  • 设 (M(x,y))，则 (A(2x-4, 2y-3))。
  • 代入圆的方程：((2x-4-1)^2 + (2y-3)^2 = 4)，化简得 ((x-frac{5}{2})^2 + (y-frac{3}{2})^2 = 1) 。

    • 五、注意事项

    1. 方程有效性：当 (D^2 + E^2

  • 4F = 0) 时，方程表示一个点；当 (D^2 + E^2
  • 4F < 0) 时，无图形 。

    • 2. 对称性应用：圆心在坐标系中的位置可通过对称性简化计算（如例题1）。

    3. 参数问题：若方程中含参数（如 (m)），需结合不等式求参数范围 。

    六、高频考点总结

    1. 直接求圆心和半径（如例题1）。

    2. 已知圆上三点求方程（如例题2）。

    3. 轨迹方程与几何结合（如例题3）。

    4. 参数条件下的圆存在性问题 。