数学建模作为新高考改革中重点培养的核心素养之一，在几何问题中常通过实际问题抽象为数学模型，结合代数、三角函数、空间向量等工具解决几何动态问题、最优化问题或复杂空间关系分析。以下是高考几何题中数学建模的典型应用案例及解析：

案例1：港口水深与时间关系的三角函数模型

问题背景：某港口水深随时间周期性变化，需建立模型预测货船进出港时间。

建模过程：

1. 数据抽象：将港口水深数据拟合为三角函数形式 ( h(t) = 2.5sinleft(frac{pi t}{6}right) + 5 )，其中( t )为时间（小时）。

2. 应用场景：

  • 安全水深计算：货船吃水深度4米+安全间隙1.5米，转化为不等式 ( 2.5sinleft(frac{pi t}{6}right) + 5 geq 5.5 )，求解允许进港的时间窗口。
  • 动态调整：考虑卸货过程中吃水深度变化，需调整模型为分段函数，结合导数分析时间临界点。

    • 关键思想：通过三角函数模拟周期性自然现象，结合不等式和导数解决动态优化问题。

    案例2：立体几何中的空间向量模型

    问题背景：证明空间直线与平面的垂直关系或计算二面角。

    建模过程：

    1. 坐标系建立：以几何体顶点为原点，构建三维坐标系，将几何元素坐标化。

    2. 向量运算：

  • 直线方向向量与平面法向量的点积为零时，直线与平面垂直。
  • 二面角计算通过两平面法向量的夹角公式 ( cosheta = frac{|mathbf{n_1} cdot mathbf{n_2}|}{|mathbf{n_1}||mathbf{n_2}|} )。

    • 应用示例：2024年新高考立体几何题中，通过建立三棱锥的空间坐标系，利用向量法快速求解线面角和二面角，避免传统几何法的复杂推理。

    案例3：圆锥曲线与运动轨迹模型

    问题背景：卫星轨道、抛物线形桥梁等实际场景中的几何问题。

    建模过程：

    1. 轨迹方程建立：

  • 椭圆模型：卫星轨道满足到两焦点的距离和为常数，方程形式为 ( frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1 )。
  • 抛物线模型：桥梁拱形可抽象为抛物线方程 ( y^2 = 4px )，利用导数求最大承重点。

    • 2. 应用示例：2023年新课标卷中，通过参数方程描述直线与椭圆的交点，结合韦达定理计算弦长和面积范围。

    案例4：几何最优化问题（如光线路径、最短距离）

    问题背景：光线的反射路径优化或空间几何体表面最短路径问题。

    建模过程：

    1. 对称变换法：利用光的反射定律，将折线问题转化为直线问题（如镜面反射对称点）。

    2. 展开图模型：将三维几何体展开为平面图形，两点间直线距离即为最短路径。

    应用示例：2025年成都二诊题中，求正三棱锥外接球半径时，通过几何对称性建立方程，优化计算步骤。

    案例5：动态几何中的参数方程模型

    问题背景：研究旋转体中体积、表面积随角度变化的规律。

    建模过程：

    1. 参数化变量：引入时间参数( t )，描述几何体的动态变化。

    2. 微分分析：通过导数求极值，确定最大/最小体积时的角度。

    应用示例：2020年高考题中，通过参数方程描述直线与抛物线的交点，结合积分计算旋转体体积。

    总结与备考建议

    1. 建模思想的核心：将实际问题抽象为数学关系，强调几何与代数、三角函数的综合应用。

    2. 高频考点：

  • 立体几何中的空间向量与坐标系建模；
  • 圆锥曲线的参数方程与轨迹分析；
  • 动态几何中的最优化与周期性模型。

    • 3. 提分策略：

  • 掌握基础模型（如三角函数、空间向量）的构建步骤；
  • 强化真题训练，重点分析全国卷及新高考卷中的应用题；
  • 注重数形结合，通过几何画板等工具辅助理解复杂模型。

    • 数学建模在高考几何中的应用不仅考察计算能力，更强调逻辑推理与实际问题转化能力。考生需通过系统训练，熟练掌握核心模型的构建与求解技巧。