一、核心知识点梳理

1. 古典概型

  • 特征：
  • 基本事件有限（如掷骰子、抽签）
  • 每个基本事件等可能性
  • 概率公式：

    • [

    P(A) = frac{

    ext{事件A包含的基本事件数}}{

    ext{总基本事件数}}

    ]

  • 关键步骤：

    • ① 确定所有可能的基本事件；

    ② 计算符合条件的事件数（常用列举法或排列组合公式）。

    2. 独立事件

  • 定义：事件A发生与否不影响事件B的概率，即满足 ( P(AB) = P(A)P(B) )。
  • 判断方法：
  • 直接验证公式；
  • 实际问题中，若试验无放回或条件关联，则事件可能不独立（如网页58例题1中的抽奖问题）。

    • 二、典型综合题解析

    例1：射击与独立试验

    题目：某士兵每次命中目标的概率为0.8，连续射击3次，求至少命中两次的概率。

    解析：

  • 步骤1：分解事件为“命中2次”和“命中3次”。
  • 步骤2：计算各情况概率（独立事件乘积）：
  • 命中2次：( C_3^2

    imes (0.8)^2

    imes 0.2 = 0.384 )
  • 命中3次：( (0.8)^3 = 0.512 )
  • 步骤3：相加得结果 ( 0.384 + 0.512 = 0.896 ) 。

    • 关键点：

  • 独立试验的概率计算需用二项分布；
  • 注意“至少”类问题的对立事件简化计算。

    • 例2：产品抽样与互斥性

    题目：盒中有5正品、2次品，有放回抽取2次，求两次均为次品的概率。

    解析：

  • 古典概型计算：每次抽到次品的概率为 ( frac{2}{7} )。
  • 独立事件验证：有放回抽取满足独立性，故概率为 ( left( frac{2}{7} right)^2 = frac{4}{49} ) 。

    • 易错点：

  • 若改为无放回，则第二次概率受第一次影响，需用条件概率计算。

    • 例3：统计与独立性检验

    题目：调查120名学生对讲座的满意度，列联表如下。判断满意度与性别是否独立。

    | 性别满意度 | 满意 | 不满意 |

    |-||--|

    | 男 | 40 | 20 |

    | 女 | 30 | 30 |

    解析：

  • 步骤1：计算期望频数，如男性满意的期望值为 ( frac{70imes 60}{120} = 35 )。
  • 步骤2：计算卡方值：

    • [

    chi^2 = sum frac{(O-E)^2}{E} = frac{(40-35)^2}{35} + cdots approx 4.286

    ]

  • 步骤3：对比临界值（如3.841），拒绝原假设，认为满意度与性别相关。

    • 三、解题策略与易错点

    1. 策略：

  • 分步拆解：复杂问题分解为互斥事件或独立事件组合（如例1）。
  • 逆向思维：利用对立事件简化计算（如“至少命中2次”转化为1减去“0次或1次”）。
  • 模型转换：统计问题转化为独立性检验或概率分布（如例3）。

    • 2. 易错点：

  • 混淆互斥与独立：互斥事件一定不独立（除非概率为0），如抽球问题中“恰有1件次品”与“恰有2件次品”互斥但非独立。
  • 基本事件遗漏：如排列组合中未考虑顺序导致计数错误（如网页42例题1中的取数问题）。

    • 四、高考真题拓展

    题目（2023新高考Ⅰ卷）：甲、乙两人从1-6号景点随机选3个游览，求最后1小时同在一景点的概率。

    解析：

  • 古典概型：总共有 ( C_6^3imes C_6^3 = 400 ) 种选择组合。
  • 独立事件：两人最后景点相同的情况有6种（选同一景点），概率为 ( frac{6

    imes C_5^2

    imes C_5^2}{400} = frac{1}{6} ) 。

    • 核心能力：

  • 信息提取：从题干中识别古典概型条件与独立事件标志（如“有放回”“独立试验”）。
  • 公式灵活运用：综合全概率公式、排列组合及统计检验方法。

    • 推荐练习方向：

  • 多步骤古典概型（如网页42例题4的函数恒成立问题）；
  • 独立性与统计综合题（如列联表分析）。

    • 通过以上分析，可系统掌握此类问题的解题脉络，提升高考实战能力。