高考数学压轴题中差分方程与递推关系的结合题型解析

在高考数学压轴题中，差分方程与递推关系的结合题型是近年来高频考点之一。这类题目往往以数列为载体，通过递推公式或差分方程的形式考查学生的逻辑推理、数学建模及综合应用能力。以下从核心方法、典型题型及解题策略三方面进行解析：

一、核心方法与工具

1. 差分方程与递推关系的联系

差分方程本质上是递推关系的离散形式。例如，一阶线性差分方程 ( a_{n+1} = k cdot a_n + b ) 对应等差数列（( k=1 )）或等比数列（( b=0 )）。高阶差分方程（如二阶 ( a_{n+2} + p a_{n+1} + q a_n = 0 )）可通过特征方程法求解，转化为递推数列的通项公式。

2. 特征方程法

对于形如 ( a_{n+1} = frac{A a_n + B}{C a_n + D} ) 的分式递推关系（如2024年新高考Ⅱ卷第19题），需通过求解不动点方程 ( lambda = frac{A lambda + B}{C lambda + D} )，构造等比数列 ( frac{a_n

alpha}{a_n

beta} )，从而求得通项。

3. 构造辅助数列

当递推关系复杂时，常需构造辅助数列简化问题。例如：

将非线性递推式 ( a_{n+1} = a_n^2 + c ) 转化为对数形式 ( ln a_{n+1} = 2 ln a_n + ln c )。

将二阶递推式 ( a_{n+2} = p a_{n+1} + q a_n ) 转化为特征方程 ( r^2 = p r + q )，通过根的情况确定通项形式。

二、典型题型解析

1. 分式递推与不动点法

示例：已知 ( a_{n+1} = frac{2a_n + 1}{a_n + 3} )，求通项公式。

解法：

求不动点：解方程 ( lambda = frac{2lambda + 1}{lambda + 3} )，得根 ( alpha = 1 )，( beta = -1 )。

构造等比数列：( frac{a_{n+1}

1}{a_{n+1} + 1} = k cdot frac{a_n - 1}{a_n + 1} )，利用初始条件确定比例常数 ( k ) 并展开。

2. 跨学科综合题

示例（2024年新高考Ⅱ卷压轴题）：双曲线与数列结合，通过点差法得到递推式 ( x_{n+1} = frac{x_n^2

1}{2x_n} )，构造等比数列 ( {x_n + y_n} ) 和 ( {x_n

y_n} ) 求解通项。

3. 新定义问题

示例：定义“生成数列” ( b_n = M_n

m_n )，其中 ( M_n ) 和 ( m_n ) 分别为前 ( n ) 项的最大值和最小值。通过递推关系分析数列性质，结合等差数列或等比数列的特征进行证明。

三、解题策略与趋势分析

1. 分步拆解与验证

拆解步骤：将复杂问题分解为递推关系建立、特征方程求解、通项验证等步骤。

验证方法：通过数学归纳法或代入递推式验证通项的正确性。

2. 应对新趋势

综合能力考查：数列与解析几何、概率等知识的交叉（如2024年新课标Ⅰ卷结合等差数列与新定义问题）。

实际问题建模：如利用递推关系模拟人口增长、资源分配等实际场景，需抽象出数学模型并求解。

3. 备考建议

专项训练：针对分式递推、二阶差分方程等高频题型进行强化练习。

错题归纳：总结特征方程无实根、辅助数列构造失败等易错点，提升应变能力。

四、真题示例与思路

题目（2023年新高考Ⅰ卷）：设数列 ( {a_n} ) 满足 ( a_1 = 1 )，( a_{n+1} = sqrt{a_n^2 + 2} )，证明 ( {a_n} ) 为等差数列。

解析：

1. 递推式变形：平方得 ( a_{n+1}^2 = a_n^2 + 2 )，可见 ( {a_n^2} ) 是公差为2的等差数列。

2. 通项求解：由 ( a_n^2 = 1 + 2(n-1) )，得 ( a_n = sqrt{2n-1} )。

3. 验证等差性：计算 ( a_{n+1}

a_n )，需进一步化简或利用数学归纳法。

差分方程与递推关系的结合题型要求学生具备扎实的数列基础、灵活的构造能力及跨学科综合思维。掌握特征方程、不动点法等核心工具，结合高考命题趋势进行针对性训练，是突破此类压轴题的关键。