一、基础题型：求曲线在某点处的切线方程

例题：求曲线 ( y = frac{e^x}{x+1} ) 在点 ( (1, frac{e}{2}) ) 处的切线方程。

解析：

1. 求导函数：

由商的求导法则，( y' = frac{e^x(x+1)

  • e^x}{(x+1)^2} = frac{xe^x}{(x+1)^2} )。

    • 2. 求切点处的导数值（斜率）：

    代入 ( x=1 )，得 ( y'|_{x=1} = frac{e}{4} )。

    3. 写切线方程：

    利用点斜式 ( y

  • frac{e}{2} = frac{e}{4}(x-1) )，化简得 ( y = frac{e}{4}x + frac{e}{4} )。

    • 考点：导数的几何意义、商的求导法则。

    二、进阶题型：已知切线斜率求参数

    例题：若曲线 ( y = x^3 + ax + b ) 在点 ( (2, -4) ) 处的切线斜率为 4，求 ( a ) 的值。

    解析：

    1. 求导函数：

    ( y' = 3x^2 + a )。

    2. 利用切点条件列方程：

    斜率条件：( 3(2)^2 + a = 4 )，解得 ( a = -8 )。

    3. 验证切点是否在曲线上：

    代入 ( (2, -4) )，得 ( -4 = 8 + (-8) cdot 2 + b )，解得 ( b = 12 )。

    考点：导数的几何意义与参数求解。

    三、综合题型：切线条数问题

    例题：过点 ( (a, 0) ) 作曲线 ( y = xe^x ) 的切线，若存在两条切线，求 ( a ) 的取值范围。

    解析：

    1. 设切点：设切点为 ( (t, te^t) )，切线方程为 ( y = e^t(t+1)(x-t) + te^t )。

    2. 代入点：将 ( (a, 0) ) 代入方程，整理得 ( a = t

  • frac{t}{t+1} )。

    • 3. 转化为方程解的个数：

    令 ( f(t) = t

  • frac{t}{t+1} )，研究 ( f(t) = a ) 的实根个数。

    • 分析 ( f(t) ) 的单调性及极值，当 ( a < -1 ) 或 ( a > 0 ) 时，方程有两解，即存在两条切线。

    考点：切线存在性与方程解的转化。

    四、难点题型：公切线问题

    例题：求曲线 ( y = ln x ) 与 ( y = e^{x-1} ) 的公切线方程。

    解析：

    1. 设公切线的切点：

    设 ( y = ln x ) 的切点为 ( (a, ln a) )，切线斜率为 ( frac{1}{a} )，切线方程 ( y = frac{1}{a}(x

  • a) + ln a )。

    • 设 ( y = e^{x-1} ) 的切点为 ( (b, e^{b-1}) )，切线斜率为 ( e^{b-1} )，切线方程 ( y = e^{b-1}(x

  • b) + e^{b-1} )。

    • 2. 斜率相等且切线方程相同：

    联立方程组：

    [

    begin{cases}

    frac{1}{a} = e^{b-1},

    frac{1}{a}(-a) + ln a = e^{b-1}(-b) + e^{b-1}

    end{cases}

    ]

    解得 ( a = 1 )，( b = 1 )，公切线方程为 ( y = x )。

    考点：两曲线的公切线条件与方程联立。

    五、压轴题型：导数几何意义与函数性质结合

    例题：已知函数 ( f(x) = x^3

  • 3x )，过点 ( (1, t) ) 作曲线 ( y = f(x) ) 的切线，若存在三条切线，求 ( t ) 的取值范围。

    • 解析：

    1. 设切点：设切点为 ( (a, a^3

  • 3a) )，切线方程为 ( y = (3a^2
  • 3)(x - a) + a^3 - 3a )。

    • 2. 代入点：将 ( (1, t) ) 代入，整理得 ( 2a^3

  • 3a^2
  • t + 3 = 0 )。

    • 3. 分析方程解的个数：

    令 ( g(a) = 2a^3

  • 3a^2 )，求 ( g(a) = t
  • 3 ) 的实根个数。

    • 分析 ( g(a) ) 的极值，当 ( t

  • 3 in (-1, 0) )，即 ( t in (2, 3) ) 时，方程有三解，对应三条切线。

    • 考点：三次函数的切线存在性与极值分析。

    总结与备考建议

    1. 基础题：熟练掌握求导法则，直接应用几何意义求切线方程。

    2. 参数问题：通过导数建立方程求解参数，注意验证切点是否在曲线上。

    3. 综合题：将切线条数转化为方程解的个数问题，结合函数图像分析。

    4. 压轴题：结合导数与函数性质（如三次函数极值），研究方程解的分布。

    建议结合真题专项训练（如网页1、12、42中的资源），强化计算能力与几何直观。