以下是针对高考对数函数图像与性质的综合专项训练，结合高考真题及模拟题进行分类整理，涵盖核心考点与解题技巧：

一、对数函数图像与性质基础训练

1. 图像识别与定点问题

  • 例题：若函数 ( f(x) = log_a(x + c) ) 的图象如图所示，判断 ( a, c ) 的取值范围。

    • 解析：由图像过定点及单调性可知，当 ( 0 < a < 1 ) 且 ( 0 < c < 1 ) 时，图像符合要求。

  • 训练：函数 ( f(x) = log_a(2x
  • 1) + 4 ) 的图象恒过定点 ( A )，求 ( A ) 的坐标。

    • 答案：令 ( 2x

  • 1 = 1 )，解得 ( x = 1 )，则 ( A(1, 4) )。

    • 2. 定义域与值域

  • 例题：求 ( f(x) = lg x + lg(5
  • 3x) ) 的定义域。

    • 解析：需满足 ( x > 0 ) 且 ( 5

  • 3x > 0 )，即 ( x in (0, frac{5}{3}) )。
  • 训练：若 ( f(x) = log_2(x^2 + ax + 3a) ) 的值域为 ( mathbb{R} )，求实数 ( a ) 的范围。

    • 答案：需 ( x^2 + ax + 3a > 0 ) 对所有 ( x ) 成立，解得 ( a in [0, 12] )。

    二、对数函数性质综合应用

    1. 单调性与奇偶性

  • 例题：已知 ( f(x) = log_2(1
  • |x|) )，判断其奇偶性及单调区间。

    • 解析：定义域为 ( (-1, 1) )，偶函数，在 ( (0, 1) ) 上单调递减。

  • 训练：若 ( f(x) = log_a(1
  • x) - log_a(1 + x) ) 是奇函数，求 ( a ) 的值。

    • 答案：由 ( f(-x) = -f(x) )，得 ( a > 0 ) 且 ( a

    eq 1 )。

    2. 比较大小与不等式

  • 例题：设 ( a = log_4 9 )，( b = log_2 5 )，( c = 3^{log_3 4} )，比较大小。

    • 解析：( a = log_2 3 )，( c = 4 )，故 ( b > a > c )。

  • 训练：若 ( log_3 2 < log_2 3 < log_2 5 )，判断 ( a, b, c ) 的关系。

    • 答案：( a < b < c )。

    三、高考真题与压轴题精练

    1. 复合函数与参数问题

  • 真题（2024·天津卷）：函数 ( f(x) = ln(1
  • x) + ln(3 + x) ) 的对称轴及单调性。

    • 解析：对称轴为 ( x = 1 )，在 ( (-1, 1) ) 单调递增。

  • 压轴题：若 ( f(x) = log_a(1 + x) + log_a(3
  • x) ) 在区间 ( [0, frac{3}{2}] ) 的最大值为 2，求 ( a )。

    • 答案：由 ( f(0) = log_a 3 = 2 )，得 ( a = sqrt{3} )。

    2. 综合应用题

  • 例题：已知 ( f(x) = log_2(frac{1}{2}x + a) ) 是 ( mathbb{R} ) 上的奇函数，求 ( a )。

    • 解析：由奇函数性质 ( f(0) = 0 )，解得 ( a = -frac{1}{2} )。

  • 训练：若 ( f(x) = log_a(x^2 + frac{3}{2}x) ) 在区间 ( (frac{1}{2}, +infty) ) 恒有 ( f(x) > 0 )，求其单调递增区间。

    • 答案：当 ( a > 1 ) 时，递增区间为 ( (0, +infty) )。

    四、高频易错点与解题技巧

    1. 易错点：

  • 忽略定义域：解题时需先确定对数函数的定义域（如 ( x > 0 )）。
  • 复合函数处理：如 ( y = log_a(g(x)) ) 的单调性需结合内外层函数分析。

    • 2. 技巧总结：

  • 图像变换：对数函数图像平移规律（左加右减，上加下减）。
  • 换底公式：比较大小或解方程时灵活使用 ( log_a b = frac{ln b}{ln a} )。

    • 以上训练题均选自近年高考真题及模拟题，建议结合解析强化练习，并参考来源网页获取完整题目及拓展训练。