高考数学不等式证明高频考点归纳

一、基础方法类

1. 比较法

作差法：将不等式两边作差，通过变形（因式分解、配方等）判断符号。例如证明 (a^2 + b^2 geq 2ab) 时，作差得 ((a-b)^2 geq 0)，直接得证[[42][102]]。

作商法：适用于正数比较，通过商与1的大小关系判断。例如证明 (a^3 + b^3 geq ab(a + b))，可作商 (frac{a^3 + b^3}{ab(a + b)}) 化简[[42][102]]。

2. 综合法与分析法

综合法：从已知条件或不等式性质出发，逐步推导目标式。例如利用均值不等式链 (frac{a+b}{2} geq sqrt{ab} geq frac{2}{frac{1}{a} + frac{1}{b}}) 进行综合推导[[42][102]]。

分析法：逆向推导，从结论出发寻找充分条件。例如证明 (frac{x_1 + x_2}{2} > frac{x_1

x_2}{ln x_1 - ln x_2}) 时，转化为证明 (ln t > frac{2(t-1)}{t+1})（(t = frac{x_1}{x_2})）[[102][116]]。

3. 反证法与数学归纳法

反证法：假设结论不成立，导出矛盾。例如证明 (a, b, c > 0) 时，假设 (a leq 0) 会导致 (ab + bc + ca leq 0)，与已知矛盾[[42][102]]。

数学归纳法：适用于数列或含自然数的不等式，如证明 (1 + frac{1}{2^2} + cdots + frac{1}{n^2} < 2)[[42][102]]。

二、导数与不等式结合

1. 单变量不等式证明

构造辅助函数：利用导数研究函数单调性或最值。例如证明 (e^x geq x + 1)，构造函数 (f(x) = e^x

x - 1)，求导证其最小值非负[[24][87][92]]。

凹凸反转：将复杂不等式拆分为凹凸函数组合。例如证明 (e^x geq 1 + x + frac{x^2}{2}) 时，转化为凹凸函数比较。

2. 双变量不等式证明

消参减元法：通过变量替换或对称性简化问题。例如已知 (x_1 + x_2 = k)，令 (t = x_1

x_2) 消元分析。

对称化构造：利用对称性构造辅助函数。例如证明 (frac{a+b}{2} geq sqrt{ab}) 时，引入对称变量[[42][102]]。

3. 放缩法

导数放缩：利用泰勒展开或常见不等式（如 (e^x geq x + 1)）进行放缩。例如证明 (ln x leq x

1) 时，利用导数分析函数极值[[24][87][116]]。

数列放缩：通过裂项、累加或递推关系放缩。例如证明 (sum_{k=1}^n frac{1}{k^2} < 2) 时，利用 (frac{1}{k^2} < frac{1}{k(k-1)}) 裂项求和[[78][93]]。

三、高频题型与技巧

1. 均值不等式应用

灵活运用均值不等式链，例如在求最值时结合条件 (a + b + c = k)，通过调整系数匹配目标式[[133][148]]。

注意等号成立条件，例如当且仅当 (a = b = c) 时 (frac{a+b+c}{3} geq sqrt[3]{abc}) 取等[[133][148]]。

2. 数列与不等式综合

结合递推关系或数学归纳法证明数列不等式。例如证明 (a_{n+1} = sqrt{a_n + 2}) 的单调有界性[[78][93]]。

利用放缩法处理数列求和，如等比缩放、裂项相消等[[78][93]]。

3. 含绝对值不等式

分段讨论或几何意义分析。例如解 (|2x

1| < 3) 时分段讨论 (2x - 1) 的正负。

利用三角不等式 (|a| + |b| geq |a + b|) 进行放缩。

四、压轴题进阶技巧

1. 高等数学思想降维应用

琴生不等式：利用凸函数性质，例如证明 (frac{f(x_1) + f(x_2)}{2} geq fleft(frac{x_1 + x_2}{2}right))（(f) 为凹函数）。

泰勒展开：构造函数近似式，例如用 (e^x geq 1 + x + frac{x^2}{2}) 放缩证明复杂不等式。

2. 多变量问题处理

对称换元或主元法。例如设 (t = frac{x}{y}) 简化双变量问题。

利用拉格朗日乘数法求条件极值（需谨慎，高考中需转换为初等方法）。

五、备考建议

1. 强化基础方法：熟练掌握比较法、综合分析法及导数工具的应用。

2. 总结高频模型：如单变量导数构造、数列放缩、均值不等式链等。

3. 限时训练压轴题：针对放缩法、凹凸反转等难点进行专项突破。

4. 规范答题步骤：尤其注意分析法与综合法的逻辑表述，避免跳步失分[[15][24][42]]。

通过系统归纳方法、分类训练题型，结合真题反复演练，可有效提升不等式证明的解题能力。