高考概率题中组合数定理的实际应用案例

在高考概率题中，组合数定理的实际应用案例广泛分布于抽样、分组、排列组合与概率结合等场景。以下是几种典型应用案例及解析：

1. 配对问题中的组合数计算

案例：从10对夫妻中选6人参加活动，要求“没有夫妻”的组合数。

解析：

总选择方法为从20人中选6人，即组合数 ( C_{20}^6 )。

需排除所有可能包含夫妻的情况，最终组合数为 ( C_{10}^6imes 2^6 )（每对夫妻中选1人且不重复选同一对），但需通过间接法计算。

关键点：组合数的间接法（先计算总情况，再减去不满足条件的情况）。

引用：

2. 抽样概率问题

案例：从3双鞋中任取2只，恰好配对的概率。

解析：

总情况数为 ( C_6^2 = 15 )。

符合条件的组合数为3种（3双中任选一双），概率为 ( frac{3}{15} = frac{1}{5} )。

关键点：组合数用于计算事件的基本可能数，再求概率比例。

引用：

3. 分组分配问题

案例：3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项。

解析：

需将4项工作分为3组（1人完成2项，其余各完成1项），分组方法为 ( C_4^2 )（选2项分配给同一人），再全排列分配方式 ( A_3^3 )。

总方法数为 ( C_4^2

imes A_3^3 = 6

imes 6 = 36 )。

关键点：组合数与排列数结合，解决分步任务问题。

引用：

4. 几何模型中的组合应用

案例：立方体棱所在直线中异面直线的对数。

解析：

立方体共有12条棱，异面直线需满足不共面且不相交。

通过计算四面体数量（每对异面直线对应一个四面体），最终得异面直线对数为174对。

关键点：组合数用于几何模型的抽象问题，需构造数学关系。

引用：

5. 实际情境中的条件概率

案例：客户接受方案A、B、C的概率排序问题。

解析：

接受B的概率需分两类：接受A后接受B（( 40%

imes 60% = 24% )）和不接受A后接受B（( 60%

imes 30% = 18% )），总概率为 ( 24% + 18% = 42% )。

类似方法计算C的概率，最终排序为 ( C > B > A )。

关键点：组合数的分类加法与分步乘法原理结合条件概率。

引用：

6. 排列组合综合应用

案例：从5名男生、3名女生中选5人担任不同学科课代表，要求特定性别分配。

解析：

需分步计算：先选人（组合数），再分配学科（排列数）。

例如“3男2女”的选法为 ( C_5^3imes C_3^2 )，再乘以学科分配的排列数 ( A_5^5 )。

关键点：组合数与排列数的嵌套使用，解决综合问题。

引用：

总结与备考建议

1. 理解公式本质：组合数 ( C_n^m ) 用于无序选择，排列数 ( A_n^m ) 用于有序排列。

2. 分类与分步：复杂问题需拆解为独立事件（分类加法）或连续步骤（分步乘法）。

3. 逆向思维：当正面计算困难时，用总情况减去反面情况（如“至少1对夫妻”问题）。

4. 模型化训练：通过典型例题（如几何模型、实际情境）掌握组合数的灵活应用。

更多真题解析可参考相关专题训练。