根式不等式解法全归纳：高考真题中的变形与限制条件

一、基本解法框架

根式不等式的核心解法遵循以下步骤：

1. 求定义域：确保根式内的表达式非负，即 ( f(x) geq 0 )。例如，解 ( sqrt{x+2} < x ) 时，定义域为 ( x geq -2 ) 且 ( x geq 0 )，即 ( x geq 0 ) 。

2. 分类讨论右侧符号：

若右侧 ( g(x) < 0 )，则直接根据根式的非负性判断解集（如 ( sqrt{f(x)} > g(x) ) 恒成立）；

若右侧 ( g(x) geq 0 )，则两边平方后转化为有理不等式，注意保持不等式方向一致 。

3. 平方后的等价变形：平方可能扩大解集，需与原不等式定义域取交集。例如，解 ( sqrt{2x-1} < x+2 ) 时，需满足 ( x+2 > 0 ) 且平方后的解 ( x < 5 ) 与定义域 ( x geq frac{1}{2} ) 的交集为 ( frac{1}{2} leq x < 5 ) 。

二、高考真题中的典型变形与限制条件

1. 含参数不等式：

示例：解 ( sqrt{1-mx} < x-1 )（( m > 0 )）。需分情况讨论：

当 ( x > 1 )，且 ( 1

mx geq 0 )，即 ( x leq frac{1}{m} )，结合平方后的解 ( x > 2 - m )；

最终解集为 ( 2

m < x leq frac{1}{m} )（( 0 < m < 1 ) 时有解，( m geq 1 ) 时无解）。

关键：参数需满足定义域和不等式方向的双重限制。

2. 绝对值与根式结合：

示例：解 ( sqrt{x^2+1} leq 1 + ax )。通过变形得到 ( ax geq 0 )，结合 ( a > 0 ) 可知 ( x geq 0 )，再平方化简后求解 。

技巧：利用绝对值性质或函数单调性简化讨论。

3. 多根式叠加：

示例：解 ( sqrt{x+2} + sqrt{x-5} geq sqrt{5-x} )。通过定义域分析，仅当 ( x = 5 ) 时所有根式有意义，解集为 ( x = 5 ) 。

限制条件：多个根式需同时满足各自的定义域，往往解集为离散点或空集。

4. 分式与根式结合：

示例：解 ( frac{x+1}{x+4} sqrt{frac{x+3}{1-x}} < 0 )。先求定义域 ( -3 < x < 1 )，再分析分式符号，最终解集为 ( -3 < x < -1 ) 。

关键：分子分母符号与根式非负性结合分析。

三、易错点与解题技巧

1. 忽略隐含条件：

平方前未验证两侧非负性，如 ( sqrt{f(x)} < g(x) ) 需同时满足 ( g(x) > 0 ) 和 ( f(x) geq 0 ) 。

含参不等式未对参数分类讨论，导致解集错误 。

2. 特殊变形技巧：

分母有理化：处理分式根式时，通过有理化简化计算。

换元法：对复杂表达式换元（如令 ( t = sqrt{f(x)} )），转化为整式不等式 。

柯西不等式与均值不等式：用于处理根式下的最值问题（如 ( sqrt{x^2+1} leq 1 + ax ) 变形为代数最值问题）。

3. 验证解集有效性：

平方后的解需代入原式验证，避免伪解。例如，解 ( sqrt{2x^2+1} leq x+1 ) 时，平方后得 ( x^2

2x leq 0 )，但结合 ( x geq 0 ) 后解集为 ( 0 leq x leq 2 ) 。

四、高考真题解析

1. 2002年北京卷：解 ( |2sqrt{x+3}

x + 1| < 1 )。

步骤：脱绝对值转化为不等式组 ( -1 < 2sqrt{x+3}

x + 1 < 1 )，分情况讨论 ( x geq 2 ) 和 ( x < 2 )，最终解集为 ( 6 < x < 4 + 2sqrt{6} ) 。

2. 2010年全国卷：解 ( sqrt{2x^2+1}

x leq 1 )。

关键：平方前需满足 ( x+1 geq 0 )，最终解集为 ( 0 leq x leq 2 ) 。

根式不等式的解题核心在于定义域优先和分类讨论，需特别注意平方操作前后的等价性验证。高考中常结合绝对值、分式、参数等设置陷阱，需通过大量练习掌握变形技巧（如换元、有理化）和限制条件的分析能力。