高考不等式证明题的常用方法与思路点拨

一、基础方法类

1. 比较法

作差法：通过比较两边的差值符号进行证明。例如：对于任意实数 (a, b)，证明 (a^2 + b^2 geq 2ab)，可作差得 (a^2 + b^2

2ab = (a - b)^2 geq 0)。

作商法：适用于正数比较，通过商与1的大小关系判断。例如：若 (a, b > 0)，证明 (frac{a}{b} + frac{b}{a} geq 2)，可作商后利用均值不等式。

2. 综合法与分析法

综合法：从已知条件或基本不等式出发，逐步推导出目标不等式。例如：利用均值不等式链 (H_n leq G_n leq A_n leq Q_n) 逐步放缩。

分析法：逆向思维，从结论出发寻找充分条件，直至已知事实。例如：要证 (a + b geq 2sqrt{ab})，需逆推至 ((sqrt{a}

sqrt{b})^2 geq 0)。

3. 反证法

假设结论不成立，通过逻辑推理导出矛盾。例如：证明“若 (a + b > 2)，则 (a > 1) 或 (b > 1)”，可假设 (a leq 1) 且 (b leq 1)，推出矛盾。

二、变形与构造类

4. 换元法

代数换元：将复杂变量替换为简单变量。例如：设 (x = frac{a}{b})，简化分式不等式。

三角换元：处理含根号或绝对值的式子。例如：设 (x = sinheta)，将不等式转化为三角函数形式。

5. 放缩法

通过中间量放大或缩小，传递不等关系。例如：证明 (sum frac{1}{n^2} < 2)，可利用 (frac{1}{n^2} < frac{1}{n(n-1)} = frac{1}{n-1}

frac{1}{n}) 裂项求和。

6. 构造函数法

通过构造辅助函数结合导数分析单调性或极值。例如：证明 (e^x geq x + 1)，可构造函数 (f(x) = e^x

x

1)，利用导数求最小值。

三、经典不等式工具类

7. 均值不等式

调和平均 ≤ 几何平均 ≤ 算术平均 ≤ 平方平均。例如：已知 (a, b, c > 0)，证明 (frac{a}{b} + frac{b}{c} + frac{c}{a} geq 3)。

8. 柯西不等式

用于处理平方和与积的关系。例如：证明 ((a^2 + b^2)(c^2 + d^2) geq (ac + bd)^2)，直接应用柯西不等式形式。

9. 排序不等式

正序和 ≥ 乱序和 ≥ 逆序和。例如：若 (a geq b geq c)，则 (a^2 + b^2 + c^2 geq ab + bc + ca)。

四、思路点拨

1. 观察结构特征

对称性：优先考虑均值不等式或对称换元。

分式或根式：尝试齐次化或三角换元。

函数背景：联想导数工具或构造辅助函数。

2. 灵活组合方法

若直接比较困难，可先用放缩法简化，再结合均值或导数工具。

涉及数列或累加时，考虑数学归纳法或裂项放缩。

3. 注意取等条件

所有不等式在取等时的变量关系需严格验证，避免逻辑漏洞。

五、典型例题参考

1. 例1（齐次化技巧）：已知 (a + b = 1)，证明 (frac{1}{a} + frac{2}{b} geq 3 + 2sqrt{2})。

思路：通过齐次化将问题转化为对称形式，再应用柯西不等式。

2. 例2（导数应用）：证明 (e^x geq x + 1)。

思路：构造函数 (f(x) = e^x

x

1)，求导分析最小值。

高考不等式证明需熟练掌握基础方法（比较法、综合法、分析法），灵活运用变形技巧（换元、放缩），并结合经典不等式工具（均值、柯西）。解题时注重观察结构，合理选择路径，同时验证取等条件以确保严谨性。通过典型例题的反复练习，可提升对方法的综合应用能力。