高考常见导数公式速记与易错点分析

一、常见导数公式速记

以下公式是高考高频考点，需熟练掌握：

1. 基本初等函数导数公式

常数函数：( (c)' = 0 )（常数函数的切线斜率为0）。

幂函数：( (x^n)' = nx^{n-1} )

记忆口诀：“幂降次，系数下放，指数减1”（适用于任何幂函数，包括根式、分式转化形式，如( sqrt{x} = x^{1/2} )）。

指数函数：

( (e^x)' = e^x )（口诀：“衣叉就是衣叉，导来导去不变”）。

( (a^x)' = a^x ln a )（需“黏住lna”，即多乘一个( ln a )）。

对数函数：

( (ln x)' = frac{1}{x} )（特殊性：对数导数为幂函数）。

( (log_a x)' = frac{1}{x ln a} )（类比自然对数，多除一个( ln a )）。

三角函数：

( (sin x)' = cos x )，( (cos x)' = -sin x )（口诀：“正同余反”，即正弦导数为正，余弦导数为负）。

( (an x)' = sec^2 x )，( (cot x)' = -csc^2 x )（口诀：“正切正割平方，余切余割平方”）。

2. 四则运算法则

加减法：( (u pm v)' = u' pm v' )（直接拆分求导）。

乘法：( (uv)' = u'v + uv' )（口诀：“每次导一个，再加起来”）。

除法：( left( frac{u}{v} right)' = frac{u'v

uv'}{v^2} )（记忆：分母平方，分子“导前导后交替减”）。

3. 复合函数求导（链式法则）

形如( y = f(g(x)) )，导数为( y' = f'(g(x)) cdot g'(x) )（口诀：“外层导完导内层，层层相乘”）。

示例：( y = sin(2x) )，导数为( 2cos(2x) )。

二、易错点分析

1. 对导数概念理解错误

常见误区：混淆平均变化率与瞬时变化率，或误用极限定义式。

正确理解：导数( f'(x_0) = lim_{Delta x

o 0} frac{f(x_0 + Delta x)

f(x_0)}{Delta x} )，需注意分母是自变量的增量。

2. 求导法则应用错误

复合函数漏乘内层导数：如( y = e^{2x} )误导为( e^{2x} )，正确应为( 2e^{2x} )（漏乘内层导数2）。

除法法则分子顺序颠倒：误写为( frac{uv'

u'v}{v^2} )，正确应为( frac{u'v - uv'}{v^2} )（口诀：“分子导前导后交替减”）。

3. 混淆“在点”与“过点”的切线

在点切线：已知切点( (x_0, f(x_0)) )，直接代入公式( y = f(x_0) + f'(x_0)(x

x_0) )。

过点切线：若点( (a, b) )不在曲线上，需设切点( (x_0, f(x_0)) )，解方程( b = f(x_0) + f'(x_0)(a

x_0) )求切点。

4. 忽略函数定义域

对数函数：如( y = ln x )的定义域为( x > 0 )，求导后仍需保证定义域成立。

分式函数：如( y = frac{1}{x} )，导数( y' = -frac{1}{x^2} )中( x

eq 0 )。

5. 极值点与导数为零的关系

错误认知：认为( f'(x_0) = 0 )必为极值点（反例：( f(x) = x^3 )，( x = 0 )处导数为0但非极值点）。

正确判定：需验证导数值在( x_0 )两侧是否变号。

6. 参数范围问题

单调性求参：已知函数在区间上单调递增，需( f'(x) geq 0 )且等号仅在离散点成立（如( y = x^3 )，导数为0的点不破坏单调性）。

三、实战技巧

1. 口诀辅助记忆：如“正同余反”“幂降次”等，结合生活场景（如“天塌了分母平方”）强化记忆。

2. 分类整理公式：将导数公式分为基本函数、四则运算、复合函数三类，对比记忆（如指数与对数互为逆运算，导数形式对称）。

3. 多维度验证：求导后检查符号、定义域是否合理，或用具体值代入验证（如( x = 0 )时验证三角函数导数）。