一、基础概念判断题

常见题型：

1. 判断说法正误

  • 例题：
  • "所有的质数都是奇数"（错误，2是唯一的偶质数）
  • "1既不是质数也不是合数"（正确）
  • "最小的合数是4"（正确）

    • 2. 数类归属判断

  • 例题：
  • "以下数中哪些是质数：51, 101, 103, 105, 107, 109, 1001？"

    • 答案：101, 103, 107, 109（需排除51、105、1001）

    解题思路：

  • 定义法：质数只有1和自身两个因数；合数至少有三个因数。
  • 特殊值记忆：
  • 2是唯一偶质数，4是最小合数，1非质非合。
  • 100以内质数需熟记（如2,3,5,7,11,…97）。
  • 排除法：
  • 尾数为0、2、4、5、6、8的数（除2和5外）多为合数。
  • 数位和是3的倍数的数必为合数（如51：5+1=6，可被3整除）。

    • 二、组合与运算题

    常见题型：

    1. 质数组合求和/积

  • 例题：
  • "两个质数的和是39，求这两个质数。"

    • 答案：2 + 37 = 39（利用奇偶性：偶数+奇数=奇数，唯一偶质数是2）

  • "三个质数相加等于40，求这三个质数。"

    • 答案：2 + 7 + 31 = 40（必含2，剩余两数之和为38）

    2. 含未知数的质数方程

  • 例题：
  • "已知P、Q是质数，且P×11
  • Q×93 = 2003，求P×Q。"

    • 答案：P=199，Q=2（通过奇偶性分析，Q必为2）

    解题思路：

  • 奇偶性分析：
  • 偶数+奇数=奇数（如39分解为2+37）。
  • 质数中除2外均为奇数，方程中常通过引入2简化问题。
  • 试除验证法：
  • 对可能值试除质数（如判断179是否为质数：试除2、3、5、7、11、13、17等）。

    • 三、分解质因数题

    常见题型：

    1. 分解合数为质因数乘积

  • 例题：
  • "将42分解质因数。"

    • 答案：42 = 2×3×7

  • "分解1001为质因数。"

    • 答案：1001 = 7×11×13（需试除7、11等质数）

    解题思路：

  • 短除法：从小到大用质数试除，直到商为质数。
  • 特殊数记忆：
  • 1001 = 7×11×13，105 = 3×5×7。

    • 四、实际应用题

    常见题型：

    1. 电话号码/密码构造

  • 例题：
  • "电话号码由以下条件组成：①最小合数；②最大因数是8；③因数只有1和5；…求号码。"

    • 答案：4851927（结合质数、合数定义）

    2. 几何问题结合质数

  • 例题：
  • "长方形周长36cm，长和宽均为质数，求最大面积。"

    • 答案：长11cm，宽7cm，面积77cm²（周长半长为18，分解为11+7）

    解题思路：

    高考常见质数合数判断题及解题思路

  • 条件转化：将几何条件转化为质数组合问题（如周长半长分解为两质数之和）。
  • 枚举验证：列出可能的质数组合并筛选最优解。

    • 五、易错点与复习建议

    1. 易错点：

  • 混淆1的属性（非质非合）。
  • 忽略2是唯一偶质数（如误判"所有偶数都是合数"）。
  • 未排除数位和为3的倍数的合数（如93=3×31）。

    • 2. 复习建议：

  • 熟记100以内质数表：通过口诀辅助记忆（如"二三五七和十一…"）。
  • 强化试除技巧：用20以内的质数（2,3,5,7,11,13,17,19）快速判断。
  • 总结题型规律：如质数组合问题必考虑奇偶性，分解质因数需短除法等。

    • 通过以上分类解析，学生可系统掌握质数与合数的核心考点，结合真题训练巩固方法，提升解题效率。