三角函数极限问题在高考中的命题规律

三角函数极值问题（如求最大值、最小值或取值范围）是高考数学中的高频考点，命题规律主要体现在以下方面：

1. 核心考点与题型分布

基础公式与恒等变换：高考中常通过三角恒等变换（如二倍角公式、辅助角公式、降幂公式等）将复杂表达式转化为单一三角函数形式，进而利用正弦、余弦函数的有界性（如 ( sin x in [-1,1] )）求极值。例如：

例：将 ( f(x) = asin x + bcos x ) 转化为 ( f(x) = sqrt{a^2 + b^2}sin(x + phi) )，直接求极值 。

结合齐次化方法处理分式型函数，例如通过分子分母同除以 (cos x) 将表达式转化为正切形式，再求极值 。

图像与性质综合：约50%的三角函数小题涉及图像性质（如周期性、对称性、单调性），通过分析图像特征求极值或范围。例如，根据正弦曲线的周期性判断函数在区间内的极值分布 。

2. 解题方法与命题角度

二次函数法：对含平方项的三角函数表达式（如 ( sin^2 x + cos x )），通过换元法转化为二次函数形式，利用顶点公式求极值。例如，例2（2017全国卷Ⅲ）通过平方运算将 ( sinalpha

cosalpha ) 转化为含 (sin2alpha) 的表达式 。

导数法：近年高考中逐渐引入导数工具解决复杂三角函数极值问题，例如求 ( f(x) = sin x + cos x + sin x cos x ) 的极值时，求导分析单调性 。

不等式与放缩：利用均值不等式、柯西不等式等处理三角函数表达式的最值问题，或通过放缩法缩小范围（如利用 ( sin x leq 1 ) 简化计算） 。

3. 命题趋势与创新题型

实际应用与建模：结合物理、工程等实际情境，设计最优化问题。例如，通过三角函数模型求解物体运动的最大高度、最短路径等 。

开放性与结构不良题：新高考中逐渐出现开放题，例如“是否存在参数使函数取得某极值”或“写出符合条件的函数表达式”，需结合分类讨论和逆向思维 。

跨知识点综合：与向量、数列、解析几何等结合命题。例如，向量垂直条件下求三角函数表达式的最值，或结合三角形面积公式求角度范围 。

4. 典型真题与备考建议

经典例题：

例1（2018全国卷Ⅱ）：已知 (

an(alpha

frac{5pi}{4}) = frac{1}{5} )，求 (analpha )。需通过差角公式展开后解方程 。

例2（2023新课标Ⅰ卷）：求 ( cos(2alpha + 2beta) )，需联立方程组并利用和角公式 。

备考策略：

强化公式推导：重点掌握辅助角公式、二倍角公式的变形技巧。

训练多解法思维：同一题目尝试用二次函数、导数、图像法多角度求解。

关注新教材内容：如全概率公式与三角函数的结合应用可能成为新考点 。

5. 易错点与注意事项

角的范围限制：求角时需注意题目中角的范围（如锐角、钝角），避免因忽略范围导致多解或错解 。

计算准确性：平方运算可能引入增根，需验证结果的合理性（如例2的 ( sinalpha

cosalpha = frac{4}{3} ) 需检验是否存在实数解） 。

高考中三角函数极值问题命题规律可概括为：以基础公式和图像性质为核心，结合多知识点综合应用，逐步向实际建模和创新题型倾斜。备考时需注重公式灵活运用、多方法解题训练，并关注新高考改革下的命题动态 。