在高考数学压轴题中，夹逼定理（夹挤定理）是解决复杂极限问题的关键工具。通过合理构造上下界函数或数列，利用两边极限的一致性推导目标极限值。以下结合具体题型和应用场景，总结解题思路与技巧：

一、夹逼定理的核心思想

1. 定义：若函数（或数列）( g(x) leq f(x) leq h(x) )，且当 ( x

o a ) 时，( g(x) ) 和 ( h(x) ) 的极限均为 ( L )，则 ( f(x) ) 的极限也为 ( L ) 。

2. 适用条件：需满足不等式关系在极限点附近成立，且上下界函数极限相同。

二、高考压轴题中常见题型及解法

1. 和式极限（n项求和）

  • 问题特征：形如 ( lim_{no infty} sum_{k=1}^n frac{n+k}{n^2 + k^2} ) 的和式极限。
  • 解法：
  • 放缩技巧：将每一项缩小和放大到分母的最大值和最小值。
  • 示例：如 ( lim_{no infty} left( frac{1}{sqrt{n^2+1}} + cdots + frac{1}{sqrt{n^2+n}} right) )，通过比较分母的极值得：

    • [

    frac{n}{sqrt{n^2 + n}} leq

    ext{原式} leq frac{n}{sqrt{n^2 + 1}},

    ]

    最终极限为 1。

    2. 递推数列的收敛性

    如何用夹逼定理求解高考压轴题中的复杂极限

  • 问题特征：递推公式如 ( x_{n} = frac{2x_{n-1}}{x_{n-1} + 1} )，需证明极限存在并求值。
  • 解法：
  • 构造差值：如 ( x_n
  • 1 leq frac{1}{2}(x_{n-1} - 1) )，利用几何级数 ( frac{1}{2^{n-1}} ) 的衰减性，证明 ( x_no 1 ) 。

    • 3. 含振荡函数的极限

  • 问题特征：如 ( lim_{xo 0} x sin frac{1}{x} )，由于 ( sin frac{1}{x} ) 振荡但幅值有界。
  • 解法：
  • 上下界夹逼：利用 ( -x leq x sin frac{1}{x} leq x )，两边极限均为 0，故原式极限为 0。

    • 4. 积分与极限结合问题

  • 问题特征：如证明 ( a_n = int_0^1 x^n sqrt{1-x^2} dx ) 的极限为 0。
  • 解法：
  • 积分区间分段：在 ( [0,1] ) 内，( x^n ) 在靠近 1 时趋近于 0，通过放缩积分区间为 ( [0,1-epsilon] ) 和 ( [1-epsilon,1] )，分别估计积分值趋近于 0。

    • 三、解题技巧与注意事项

    1. 合理放缩：

  • 分子/分母缩放：在和式中，通过取最大/最小项控制整体范围。
  • 不等式链：如利用 ( sin x leq x leqan x ) 或 ( ln(1+x) leq x ) 等常用不等式。

    • 2. 递推数列的差值分析：

  • 若 ( |x_n
  • L| leq k |x_{n-1} - L| )（( 0 < k < 1 )），则可通过夹逼证明收敛性。

    • 3. 实际问题的转化：

  • 高考压轴题可能结合几何或物理背景，需抽象为数学极限问题。例如，通过几何图形面积比较构造夹逼条件。

    • 四、典型高考题示例

    例题：求 ( lim_{n

    o infty} sum_{k=1}^n frac{n}{n^2 + kpi} )。

  • 解析：
  • 步骤1：放大分母 ( n^2 + kpi leq n^2 + npi )，缩小分母 ( n^2 + kpi geq n^2 + pi )。
  • 步骤2：构造不等式：

    • [

    frac{n^2}{n^2 + npi} leq

    ext{原式} leq frac{n^2}{n^2 + pi}.

    ]

  • 步骤3：两边极限均为 1，故原式极限为 1。

    • 五、总结

    夹逼定理的核心在于构造合适的上下界并验证其极限的一致性。在高考压轴题中，需结合题目特点灵活选择放缩策略，尤其注意递推关系、和式结构及振荡函数的处理。通过多练习典型例题（如和式极限、递推数列），可提升对夹逼定理的应用能力。