一、树状图法

适用场景

涉及三个及以上因素或多步骤试验的概率问题（如多次传球、多角色选择、多条件组合等）。

步骤示范

例题（改编自高考真题）：甲、乙、丙三人传球，初始球在甲手中，每次传球需随机传给另外两人中的一人，求传球3次后球回到甲手中的概率。

解题步骤：

1. 确定试验步骤与层级

将传球过程分为3次独立步骤，每次传球为一个层级，形成树状图的3层结构（初始→第一次→第二次→第三次）。

2. 绘制树状图

  • 根节点：甲（初始持球）。
  • 分支规则：每次传球时，持球人将球传给另外两人中的一人（如第一次传球时，甲传给乙或丙）。
  • 叶节点：第三次传球后的结果（最终持球人）。

    • ```

    第一次传球 第二次传球 第三次传球

    ├─乙

    │ ├─甲

    │ │ └─乙或丙

    │ └─丙

    │ └─甲或乙

    └─丙

    ├─甲

    │ └─乙或丙

    └─乙

    └─甲或丙

    ```

    3. 列举所有可能路径

    共有8条路径（2^3），其中满足“第三次回到甲”的路径有2条：

  • 甲→乙→甲→乙
  • 甲→丙→甲→乙

    • （需注意每次传球只能传给非当前持球人）。

    4. 计算概率

    总结果数为8，符合条件的结果数为2，故概率为 ( P = frac{2}{8} = frac{1}{4} ) 。

    二、表格法（列表法）

    适用场景

    涉及两个独立因素或二维分类的概率问题（如两次摸球、掷骰子组合、比赛胜负表等）。

    步骤示范

    例题（高考真题）：甲、乙两人进行“石头、剪刀、布”游戏，求甲获胜的概率。

    解题步骤：

    1. 构建二维表格

  • 行：甲的选择（石头、剪刀、布）。
  • 列：乙的选择（石头、剪刀、布）。

    • | 甲乙 | 石头 | 剪刀 | 布 |

    |-|--|--|-|

    | 石头 | 平局 | 甲胜 | 乙胜 |

    | 剪刀 | 乙胜 | 平局 | 甲胜 |

    | 布 | 甲胜 | 乙胜 | 平局 |

    2. 统计结果数目

  • 总结果数：3×3=9种。
  • 甲获胜的结果数：3种（石头胜剪刀、剪刀胜布、布胜石头）。

    • 3. 计算概率

    ( P(

    ext{甲胜}) = frac{3}{9} = frac{1}{3} )。

    三、两种方法的对比与选择

    | 方法 | 适用条件 | 优势 | 注意事项 |

    ||-|--|-|

    | 树状图 | 多因素（≥3）、多步骤试验 | 层次清晰，避免遗漏复杂路径 | 需逐层展开，注意分支的等可能性 |

    | 表格法 | 两因素、二维分类问题 | 直观简洁，便于统计对称性结果 | 不适用于三维及以上问题 |

    四、高考常见题型与技巧

    1. 比赛问题

  • 例如“三局两胜制”或“五局三胜制”，需结合树状图分析每局胜负的可能路径。
  • 关键：区分“独立事件”与“互斥事件”，如“至少赢两局”需分类讨论。

    • 2. 分布列问题

  • 用树状图列出所有可能的随机变量取值（如得分、次数），再计算对应概率。

    • 3. 几何概型与古典概型结合

  • 表格法适合计算二维区域的概率（如坐标点落在特定图形内）。

    • 五、易错点提醒

    1. 等可能性验证：确保树状图或表格中的每个结果出现概率相等（如摸球问题需区分“放回”与“不放回”）。

    2. 路径重复计数：在树状图中，若存在对称路径，需避免重复统计。

    3. 结果化简：复杂问题可先计算对立事件概率（如“至少1次命中”=1−“全未命中”）。

    真题演练（选自2024年模拟题）：

    > 盒子中有红、白球各3个，每次取1个不放回，求第2次取到红球的概率。

    > 解析：用树状图列出第一次取红/白球的分支，计算所有路径中第二次取红球的概率总和，结果为 ( frac{1}{2} ) 。

    通过以上步骤和例题训练，可系统掌握树状图与表格法的核心逻辑，提高高考概率题的解题效率与准确性。