三角函数的周期性与对称性是高考数学的核心考点，常以选择题、填空题形式出现，或在解答题中作为关键条件综合应用。以下结合近年高考真题及命题规律，从高频题型、解题策略和命题趋势三方面进行深度剖析。

一、高频题型与真题解析

1. 周期性主导型

【例1】（2023·新课标Ⅰ卷·第15题）

已知函数 ( f(x) = cos omega x

  • 1 ) 在区间 ([0, 2pi]) 有且仅有3个零点，求 (omega) 的取值范围。
  • 关键点：利用周期性确定零点个数。余弦函数 ( cosheta ) 的零点间隔为 (pi)，而 ( f(x) = 0 ) 等价于 ( cos omega x = 1 )，即 ( omega x = 2kpi )。
  • 解法：要求区间内有3个零点，则周期 ( T = frac{2pi}{omega} ) 需满足 ( 2pi leq omega cdot 2pi < 4pi )，解得 ( 1 leq omega < 2 ) 。

    • 【例2】（2022·新高考Ⅱ卷·第6题）

    函数 ( f(x) = sinleft(2x + phiright) ) 的图像关于点 ((frac{pi}{3}, 0)) 中心对称，求 (phi) 的值。

  • 关键点：对称中心对应的函数值关系。
  • 解法：由中心对称性，( fleft(frac{pi}{3}
  • xright) + fleft(frac{pi}{3} + xright) = 0 )，代入得 ( sinleft(frac{2pi}{3} - 2x + phiright) + sinleft(frac{2pi}{3} + 2x + phiright) = 0 )，化简后解得 ( phi = frac{pi}{3} + kpi )，结合 ( 0 < phi < pi )，得 ( phi = frac{pi}{3} ) 。

    • 2. 对称性主导型

    【例3】（2023·新课标Ⅱ卷·第16题）

    已知函数 ( f(x) = sin(omega x + phi) )，直线 ( y = frac{1}{2} ) 与其图像交于A、B两点，若 ( |AB| = frac{pi}{6} )，求 ( f(pi) )。

  • 关键点：交点间距与周期关系。
  • 解法：交点间距对应半个周期，故 ( frac{T}{2} = frac{pi}{6} )，得 ( T = frac{pi}{3} )，从而 ( omega = 6 )。再由对称性，取 ( phi = 0 )，得 ( f(pi) = sin(6pi) = 0 ) 。

    • 3. 周期与对称性综合型

    【例4】（2024·辽宁模拟）

    若函数 ( f(x) = sin(omega x + phi) ) 的图象关于直线 ( x = a ) 对称，且周期为 ( T )，则 ( T = 4|a

  • b| )（若同时关于 ( x = a ) 对称和点 ((b, 0)) 中心对称）。
  • 命题规律：双对称性（轴对称+中心对称）必隐含周期性。例如，若函数同时关于 ( x = a ) 和 ( x = b ) 对称，则周期为 ( 2|a
  • b| )；若关于直线 ( x = a ) 对称且关于点 ((b, 0)) 对称，则周期为 ( 4|a - b| ) 。

    • 二、解题策略与核心公式

    1. 周期性公式

  • 基本周期：( T = frac{2pi}{|omega|} )（正弦/余弦型函数）。
  • 复合周期：若 ( f(x) ) 满足 ( f(x + T) = f(x) )，则 ( T ) 为周期；若满足 ( f(x + a) = f(-x + b) )，则对称轴为 ( x = frac{a + b}{2} )，周期为 ( 2|a
  • b| ) 。

    • 2. 对称性公式

  • 轴对称：( f(a + x) = f(a
  • x) ) → 对称轴为 ( x = a )。
  • 中心对称：( f(a + x) + f(a
  • x) = 2b ) → 对称中心为 ((a, b)) 。

    • 3. 速记口诀

  • 同号周期，异号对称：若条件为同号（如 ( f(x + T) = f(x) )），则与周期相关；若为异号（如 ( f(a + x) = f(a
  • x) )），则与对称相关 。

    • 三、命题趋势与备考建议

    1. 趋势分析

  • 综合化：近年考题倾向于将周期性与对称性结合，例如通过对称性推导周期，再结合零点、最值等性质（如2023年新课标Ⅰ卷第15题）。
  • 图像化：重视函数图像的几何特征（如交点间距、对称轴位置），要求考生从图像中提取周期或对称信息（如2023年新课标Ⅱ卷第16题）。
  • 参数化：通过给定条件（如零点个数、对称中心）反推参数 (omega) 或 (phi)，需灵活运用方程思想。

    • 2. 备考建议

  • 强化双基：熟记正弦/余弦型函数的周期公式、对称轴/中心公式，掌握“五点法”作图技巧。
  • 真题精练：重点练习近5年新课标卷真题，总结周期性（零点间隔、单调区间长度）与对称性（对称轴方程、对称中心坐标）的关联。
  • 模型归纳：整理“双对称性→周期性”“交点间距→周期”等高频模型，形成条件反射式解题思路。

    • 真题实战演练（附思路）

    题目（2024·湖北模拟）：已知 ( f(x) = sin(2x + phi) ) 的图象关于直线 ( x = frac{pi}{6} ) 对称，且 ( 0 < phi < pi )，求 (phi)。

    解析：

    由对称性，( fleft(frac{pi}{6}

  • xright) = fleft(frac{pi}{6} + xright) )，代入得：

    • [

    sinleft(2left(frac{pi}{6}

  • xright) + phiright) = sinleft(2left(frac{pi}{6} + xright) + phiright)

    • ]

    化简后得 ( sinleft(frac{pi}{3}

  • 2x + phiright) = sinleft(frac{pi}{3} + 2x + phiright) )，解得 ( phi = frac{pi}{3} ) 或 ( phi = frac{2pi}{3} )，结合 ( 0 < phi < pi )，最终确定 (phi = frac{pi}{3}) 。

    • 通过系统梳理周期性、对称性的核心规律，结合真题剖析，考生可显著提升对复杂三角函数问题的解决能力。建议在复习中注重模型归纳与跨考点综合训练，以应对高考中日益灵活的出题方式。