三角函数泰勒展开在高考数学中的应用主要体现在比较大小、导数不等式证明及函数近似估计等题型中。以下是具体运用实例分析：

一、比较大小问题

通过泰勒展开将三角函数转化为多项式形式，便于数值比较。

1. 实例1（2022新高考Ⅰ卷第7题）

题目要求比较 ( a = 0.1e^{0.1} )、( b = frac{1}{9} ) 和 ( c = -ln 0.9 ) 的大小。

解题步骤：

  • 泰勒展开：利用 ( e^x approx 1 + x + frac{x^2}{2} )（展开到二阶），计算 ( 0.1e^{0.1} approx 0.1imes (1 + 0.1 + 0.005) = 0.1105 )；
  • 比较：直接计算 ( frac{1}{9} approx 0.1111 )，结合泰勒余项可知 ( a < b )；
  • 对数展开：利用 ( ln(1-x) approx -x
  • frac{x^2}{2} )，计算 ( c approx 0.1053 )，最终得 ( c < a < b ) 。

    • 2. 实例2（估算三角函数值）

    例如比较 ( sin 0.1 ) 和 ( 0.0998 )：

  • 展开式：( sin x approx x
  • frac{x^3}{6} )（三阶展开），代入 ( x = 0.1 ) 得 ( sin 0.1 approx 0.1 - 0.000167 = 0.099833 )，可知 ( sin 0.1 > 0.0998 ) 。

    • 二、导数与不等式证明

    通过泰勒展开构造多项式辅助函数，证明不等式或分析函数性质。

    1. 实例3（证明 ( cossqrt{2}x < -x^2 + sqrt{1+x^4} )）

  • 展开余弦函数：( cossqrt{2}x approx 1
  • (sqrt{2}x)^2/2 + (sqrt{2}x)^4/24 = 1 - x^2 + frac{x^4}{3} )；
  • 构造辅助函数：令 ( f(x) = sqrt{1+x^4}
  • x^2 - cossqrt{2}x )，展开后通过导数分析符号，证明 ( f(x) > 0 ) 。

    • 2. 实例4（结合放缩技巧）

    如证明 ( sin x geq x

  • frac{x^3}{6} )：
  • 构造函数：( g(x) = sin x
  • x + frac{x^3}{6} )，求导得 ( g'(x) = cos x - 1 + frac{x^2}{2} )，进一步展开 ( cos x ) 为 ( 1 - frac{x^2}{2} + frac{x^4}{24} )，化简后证明 ( g'(x) geq 0 )，从而 ( g(x) geq 0 ) 。

    • 三、近似计算与跨阶放缩

    在填空题或综合题中，利用泰勒展开快速估算三角函数值。

    1. 实例5（估算 ( sin 1° )）

  • 角度转换：1° ≈ 0.01745弧度；
  • 泰勒展开：( sin x approx x
  • frac{x^3}{6} )，代入得 ( sin 0.01745 approx 0.01745 - 0.00000089 ≈ 0.01744 )，误差极小 。

    • 2. 实例6（综合放缩问题）

    题目可能要求比较 ( e^{0.1} ) 和 ( sin 0.1 + cos 0.1 )：

  • 展开所有函数：

    • ( e^{0.1} approx 1 + 0.1 + 0.005 = 1.105 )，

    ( sin 0.1 approx 0.1

  • 0.000167 )，

    • ( cos 0.1 approx 1

  • 0.005 = 0.995 )，

    • 总和为 ( 1.095 )，故 ( e^{0.1} > sin 0.1 + cos 0.1 ) 。

    四、高考真题中的高阶应用

    近年高考题中，泰勒展开常作为隐性的解题工具。

  • 2022年甲卷12题：涉及 ( sin x ) 和 ( cos x ) 的多项式展开，通过比较系数或余项分析大小关系 。
  • 2021年新高考卷导数题：以 ( ln(1+x) ) 和 ( e^x ) 的展开式为背景，结合放缩证明不等式 。

    • 五、答题技巧与注意事项

    1. 避免直接引用泰勒公式：需构造辅助函数（如 ( g(x) = sin x

  • x + frac{x^3}{6} )）并通过求导分析，而非直接写出展开式 。

    • 2. 掌握常见展开式：

  • ( sin x approx x
  • frac{x^3}{6} + frac{x^5}{120} )
  • ( cos x approx 1
  • frac{x^2}{2} + frac{x^4}{24} )
  • ( e^x approx 1 + x + frac{x^2}{2} + frac{x^3}{6} ) 。

    • 3. 控制展开阶数：通常展开到三阶或四阶即可满足精度要求，高阶项用于误差分析 。

    通过以上实例可以看出，三角函数泰勒展开在高考中既是解题工具，也是理解函数性质的重要桥梁。掌握其核心思想及展开技巧，能有效提升压轴题的突破能力。