一、基本周期公式法

适用情况：标准形式的三角函数（如 ( y = Asin(omega x + phi) + k ) 或余弦、正切形式）。

公式：

  • 正弦/余弦函数：周期 ( T = frac{2pi}{|omega|} )
  • 正切函数：周期 ( T = frac{pi}{|omega|} )

    • 示例：

    函数 ( y = 3sinleft(2x + frac{pi}{4}right) ) 的周期为 ( T = frac{2pi}{2} = pi ) 。

    二、定义法（验证周期）

    适用情况：复合函数或非标准形式（如 ( y = cos(cos x) + sin(cos x) )）。

    步骤：

    1. 假设周期：以内层函数的周期（如 ( 2pi )）为候选。

    2. 验证：代入 ( f(x + T) = f(x) )，若成立则 ( T ) 是周期。

    3. 最小正周期：再验证更小的 ( T' ) 是否满足条件。

    示例：

    函数 ( f(x) = cos(cos x) + sin(cos x) )，验证 ( T = 2pi ) 时 ( f(x + 2pi) = f(x) )，且 ( T = pi ) 不成立，故最小正周期为 ( 2pi ) 。

    三、图像法

    适用情况：给出函数图像或可通过图像变换推导周期。

    步骤：

    1. 观察图像重复的最小横向距离即为周期。

    2. 结合平移、对称等变换规律推导周期。

    示例：

    若 ( y = |sin x| )，其图像将原正弦曲线的负半周翻折到正半周，周期缩短为 ( pi ) 。

    四、转化法（化简表达式）

    适用情况：复杂三角函数需恒等变形为基本形式。

    常见技巧：

    1. 积化和差/和差化积：合并项简化表达式。

    2. 绝对值处理：如 ( y = |sin x| ) 周期变为 ( pi )。

    3. 分式或根号：需结合定义法验证周期。

    示例：

    函数 ( y = sin^2 x ) 可化简为 ( y = frac{1

  • cos 2x}{2} )，周期为 ( pi ) 。

    • 五、注意事项与易错点

    1. 复合函数：内外层周期可能不同。例如 ( y = sin(cos x) ) 的周期由内层 ( cos x ) 的 ( 2pi ) 决定，而非外层正弦函数的周期 。

    2. 参数影响：

  • ( omega ) 的绝对值决定周期，正负号不影响结果。
  • 振幅 ( A ) 和初相位 ( phi ) 不影响周期。

    • 3. 特殊形式：

  • ( y = sin(omega x) + cos(omega x) ) 仍可用公式法，周期 ( T = frac{2pi}{|omega|} )。
  • 若函数为多个周期不同的三角函数叠加，其周期为各周期的最小公倍数 。

    • 高考真题示例

    题目（2023新课标Ⅰ卷）：已知 ( f(x) = cos(omega x)

  • 1 ) 在区间 ([0, 2pi]) 有且仅有3个零点，求 ( omega ) 范围。

    • 解析：

    1. 周期公式得 ( T = frac{2pi}{|omega|} )，结合零点分布可知 ( 2pi < T leq 3pi )，解得 ( frac{2}{3} leq omega < 1 ) 。

    通过以上方法，高考中可快速判断周期并计算其长度，需结合具体题目灵活选择公式法、定义法或转化法。练习时注意总结特殊题型，如绝对值、复合函数等场景。